Use coordenadas cilíndricas e calcule a integral
integral0^2 integral-raiz2 x-x^2^raiz2 x-x^2 integral0^x^2+y^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O enunciado nos dá uma integral onde a função a ser integrada é $ x^{2} + y^{2} $ e os limites de integração estão em termos de $ x $, $ y $ e $ z $. Para resolver isso, vamos converter essas coordenadas cartesianas para cilíndricas e usar as fórmulas certas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto no espaço é dada por $ (r, \theta, z) $, onde:
  • $ r $ é a distância do ponto ao eixo $ z $,
  • $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $,
  • $ z $ é a mesma coordenada $ z $ nas coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ e as cilíndricas $ (r, \theta, z) $ é:
(r, theta, z)
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
r

Passo 3

Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas cilíndricas. Dado que $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, nossa função fica:
x^2 + y^2 = r^2

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites de integração. O limite para $ z $ já está definido de $ 0 $ a $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Para $ y $, os limites estão de $ -\sqrt{2x - x^{2}} $ a $ \sqrt{2x - x^{2}} $. Vamos entender isso em termos de $ r $ e $ \theta $.
O limite para $ x $ é de $ 0 $ a $ 2 $. Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em $ r \cos \theta $ variando de $ 0 $ a $ 2 $.

Passo 5

Para simplificar, vamos determinar os limites para $ r $ e $ \theta $. Observando a expressão $ \sqrt{2x - x^{2}} $, podemos reescrever como:
r
Isso nos dá o limite superior para $ r $: de $ 0 $ a $ 2 \cos \theta $.
Para $ \theta $, observamos que $ \cos \theta $ deve ser positivo para $ r $ ser positivo, então $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 6

Agora, podemos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta integral0^r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, ficamos com:
integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta integral0^r^2 r^3 , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro. A integral de $ r^{3} $ de $ 0 $ a $ r^{2} $ é:
z
Agora, nossa integral fica:
r^3

Passo 8

Integrando em relação a $ r $:
r
Agora, a integral se reduz a:
integral0^2 cos theta r^5 , dr = r^66 |0^2 cos theta = (2 cos theta)^66 = 64 cos^6 theta6 = 32 cos^6 theta3

Passo 9

Sabemos que $ \cos^{6} \theta $ é uma função par, então podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
cos^6 theta
A integral de $ \cos^{6} \theta $ de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ é:
0

Passo 10

Substituindo de volta:
643 cdot 5 pi16 = 320 pi48 = 20 pi3

Resposta

O valor da integral é $ \frac{20 \pi}{3} $.

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