Use coordenadas cilíndricas e calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O enunciado nos dá uma integral onde a função a ser integrada é $ x^{2} + y^{2} $ e os limites de integração estão em termos de $ x $, $ y $ e $ z $. Para resolver isso, vamos converter essas coordenadas cartesianas para cilíndricas e usar as fórmulas certas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto no espaço é dada por $ (r, \theta, z) $, onde:
- $ r $ é a distância do ponto ao eixo $ z $,
- $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $,
- $ z $ é a mesma coordenada $ z $ nas coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ e as cilíndricas $ (r, \theta, z) $ é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas cilíndricas. Dado que $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, nossa função fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar os limites de integração. O limite para $ z $ já está definido de $ 0 $ a $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Para $ y $, os limites estão de $ -\sqrt{2x - x^{2}} $ a $ \sqrt{2x - x^{2}} $. Vamos entender isso em termos de $ r $ e $ \theta $.
O limite para $ x $ é de $ 0 $ a $ 2 $. Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em $ r \cos \theta $ variando de $ 0 $ a $ 2 $.
Passo 5
Para simplificar, vamos determinar os limites para $ r $ e $ \theta $. Observando a expressão $ \sqrt{2x - x^{2}} $, podemos reescrever como:
Isso nos dá o limite superior para $ r $: de $ 0 $ a $ 2 \cos \theta $.
Para $ \theta $, observamos que $ \cos \theta $ deve ser positivo para $ r $ ser positivo, então $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 6
Agora, podemos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, ficamos com:
Passo 7
Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro. A integral de $ r^{3} $ de $ 0 $ a $ r^{2} $ é:
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Integrando em relação a $ r $:
Agora, a integral se reduz a:
Passo 9
Sabemos que $ \cos^{6} \theta $ é uma função par, então podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
A integral de $ \cos^{6} \theta $ de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ é:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{20 \pi}{3} $.