Encontre uma equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.
x y z^2=6,
(3,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por x,y,z^2=6 no ponto (3,2,1). Vamos usar Cálculo Multivariável, mais especificamente derivadas parciais e gradiente de funções implícitas para achar esse plano.

Passo 2

Definimos a função implícita F(x,y,z)=x,y,z^2-6. O plano tangente a F(x,y,z)=0 tem vetor normal dado por nabla F(x,y,z). Calculamos as derivadas parciais:
partial Fpartial x=y,z^2, partial Fpartial y=x,z^2, partial Fpartial z=2,x,y,z

Passo 3

Avaliamos o gradiente em (3,2,1):
nabla F(3,2,1)=(y,z^2,;x,z^2,;2,x,y,z)|(3,2,1)=(2,3,12)
Esse vetor (2,3,12) é normal ao plano no ponto.

Passo 4

A equação geral do plano que passa por (3,2,1) com normal (2,3,12) é
2(x-3)+3(y-2)+12(z-1)=0
Ao simplificar, obtemos a forma final.

Resposta

2x+3y+12z=24

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