Determine os momentos de inércia das moléculas, dados os parâmetros geométricos.
{ }^{1} \mathrm{H}_{2}{ }^{16} \mathrm{O}, r(\mathrm{OH})=0,957 \AA, \theta(\mathrm{HOH})=110^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede: determinar os momentos de inércia principais da molécula ^1\mathrm{H}_2{}^{16}\mathrm{O} a partir da geometria.
  • Dados geométricos (peguei do enunciado):
    • r(\mathrm{O\!-\!H}) = 0,957\\ \AA.
    • \theta(\mathrm{H O H}) = 110^\circ.
  • Vou usar massas isotópicas aproximadas (valores padrão para cálculos de momentos moleculares):
    • massa do hidrogénio \,^{1}\mathrm{H}:\\ m_H = 1,007825\\ \mathrm{u}.
    • massa do oxigénio \,^{16}\mathrm{O}:\\ m_O = 15,994915\\ \mathrm{u}.
    • fator de conversão 1\\ \mathrm{u} = 1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Observação: a molécula é plana (átomos no mesmo plano), e por simetria os eixos principais serão: um eixo perpendicular ao plano (vamos chamar de eixo z) e dois eixos no plano (um ao longo da bissetriz do ângulo O e outro perpendicular a ela). Vou calcular os momentos em relação ao centro de massa (CM), que é o que interessa para momentos de inércia moleculares.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e posições iniciais dos átomos.
  • Escolho o plano molecular como plano xy e o átomo de oxigénio inicialmente na origem geométrica. Coloco a bissetriz do ângulo ao longo do eixo y, de modo que os dois hidrogénios ficam simetricamente em relação ao eixo y.
  • Definições:
    • comprimento da ligação r = 0,957\\ \AA = 0,957\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
    • meio-ângulo \dfrac{\theta}{2} = 55^\circ.
    • coordenadas (medidas a partir do oxigénio): H_1:\\ (x,y,z) = \bigl(r\sin(55^\circ),\\ r\cos(55^\circ),\\\ 0\bigr),
H_2:\\ (x,y,z) = \bigl(-r\sin(55^\circ),\\ r\cos(55^\circ),\\\ 0\bigr),
O:\\ (0,0,0).
  • Calculo trigonométrico rápido (valores numéricos usados abaixo): \sin(55^\circ)\approx0,819152,\qquad \cos(55^\circ)\approx0,573576.
  • Valores numéricos das coordenadas (a partir de r): r = 9{,}57\times10^{-11}\\ \mathrm{m},
x = r\sin(55^\circ)\approx 7{,}84\times10^{-11}\\ \mathrm{m},
y = r\cos(55^\circ)\approx 5{,}49\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo do centro de massa (CM).
  • Primeiro converto as massas para kg: m_H = 1{,}007825\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\approx1{,}6735326\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
m_O = 15{,}994915\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\approx2{,}6560178\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa total: M = m_O + 2m_H \approx 2{,}6560178\times10^{-26} + 2\times1{,}6735326\times10^{-27} \approx 2{,}9907243\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • A simetria faz com que a coordenada x do CM seja zero; apenas a coordenada y do CM é não-nula: y_{\mathrm{CM}}=\frac{m_O\cdot0 + m_H\cdot y + m_H\cdot y}{M}=\frac{2\,m_H\,y}{M}.
  • Valores numéricos: y_{\mathrm{CM}}\approx\frac{2\times1{,}6735326\times10^{-27}\times5{,}49\times10^{-11}}{2{,}9907243\times10^{-26}} \approx6{,}14\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Coordenadas relativas ao centro de massa.
  • Deslocando para o CM, as coordenadas relativas (vou indicar apenas x e y, z=0 para todos): O:\\ (0,\\\ -y_{\mathrm{CM}},\\\ 0),
H_1:\\ \bigl(x,\\ y-y_{\mathrm{CM}},\\\ 0\bigr),
H_2:\\ \bigl(-x,\\ y-y_{\mathrm{CM}},\\\ 0\bigr).
  • Números: y_{\mathrm{CM}}\approx6{,}14\times10^{-12}\\ \mathrm{m},
y - y_{\mathrm{CM}}\approx(5{,}49-0{,}614)\times10^{-11}=4{,}875\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Fórmulas dos momentos e simplificações por simetria.
  • Definição prática (para partículas puntuais): o momento de inércia relativo ao eixo z é I_z=\sum_i m_i\bigl(x_i^2+y_i^2\bigr),e, de forma análoga, I_x=\sum_i m_i\bigl(y_i^2+z_i^2\bigr)=\sum_i m_i y_i^2,
I_y=\sum_i m_i\bigl(x_i^2+z_i^2\bigr)=\sum_i m_i x_i^2.
  • Para esta molécula plana com as coordenadas escolhidas:
    • os termos em z são nulos ( z_i=0),
    • as coordenadas x dos hidrogénios têm o mesmo valor absoluto x e sinais opostos, e o oxigénio tem x_O=0.
  • Portanto: I_y = 2\,m_H\,x^2,
I_x = m_O\,y_O^2 + 2\,m_H\,(y-y_{\mathrm{CM}})^2,
I_z = I_x + I_y\quad(\text{propriedade geral para corpos planos com }z=0).

Passo 6

Cálculo numérico dos momentos (passo a passo nas contas).
  • Primeiro os quadrados das distâncias: x^2\approx(7{,}84\times10^{-11})^2\approx6{,}145\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2},
(y-y_{\mathrm{CM}})^2\approx(4{,}875\times10^{-11})^2\approx2{,}377\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2},
y_O^2=(y_{\mathrm{CM}})^2\approx(6{,}14\times10^{-12})^2\approx3{,}77\times10^{-23}\\ \mathrm{m^2}.
  • Agora os termos de momento: I_y = 2\,m_H\,x^2 \approx 2\times1{,}6735326\times10^{-27}\times6{,}145\times10^{-21} \approx 2{,}06\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
I_x = m_O\,y_O^2 + 2\,m_H\,(y-y_{\mathrm{CM}})^2 \approx 2{,}6560178\times10^{-26}\times3{,}77\times10^{-23} + 2\times1{,}6735326\times10^{-27}\times2{,}377\times10^{-21}
\qquad\qquad\approx 1{,}00\times10^{-48} + 7{,}96\times10^{-48} \approx 8{,}96\times10^{-48}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
I_z = I_x + I_y \approx 8{,}96\times10^{-48} + 2{,}06\times10^{-47} \approx 2{,}95\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
  • Conversão útil para unidades moleculares (frequente em espectroscopia): 1\\ \mathrm{u\cdot \AA^2}=1{,}66053906660\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}. Assim: I_x\approx0{,}539\\ \mathrm{u\cdot \AA^2},\qquad I_y\approx1{,}24\\ \mathrm{u\cdot \AA^2},\qquad I_z\approx1{,}78\\ \mathrm{u\cdot \AA^2}.

Passo 7

Interpretação final e nota prática para prova.
  • Os três momentos calculados são os momentos principais (autovalores do tensor de inércia) porque escolhemos eixos que coincidem com os eixos de simetria da molécula: eixo z perpendicular ao plano e dois eixos no plano (um ao longo da bissetriz e outro perpendicular a ela).
  • Ordem habitual de escrita: I_a\le I_b \le I_c. Aqui:
    • menor momento (eixo na bissetriz do ângulo, giro que coloca os dois H próximos ao eixo): I_x,
    • momento intermédio: I_y,
    • maior momento (perpendicular ao plano): I_z.
  • Dica rápida para a prova: sempre coloque o CM no início, aproveite simetrias (aqui cancelamento dos x do CM) e verifique que I_z=I_x+I_y para moléculas planas — é um bom check rápido dos cálculos.

Resposta

I_a \;=\; 8{,}96\times10^{-48}\\ \mathrm{kg\cdot m^2} \;=\; 0{,}539\\ \mathrm{u\cdot \AA^2}
I_b \;=\; 2{,}06\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2} \;=\; 1{,}24\\ \mathrm{u\cdot \AA^2}
I_c \;=\; 2{,}95\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2} \;=\; 1{,}78\\ \mathrm{u\cdot \AA^2}

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