Determine os momentos de inércia das moléculas, dados os parâmetros geométricos.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pede: determinar os momentos de inércia principais da molécula
a partir da geometria. - Dados geométricos (peguei do enunciado):
-
. -
.
-
- Vou usar massas isotópicas aproximadas (valores padrão para cálculos de momentos moleculares):
- massa do hidrogénio
. - massa do oxigénio
. - fator de conversão
.
- massa do hidrogénio
- Observação: a molécula é plana (átomos no mesmo plano), e por simetria os eixos principais serão: um eixo perpendicular ao plano (vamos chamar de eixo
) e dois eixos no plano (um ao longo da bissetriz do ângulo O e outro perpendicular a ela). Vou calcular os momentos em relação ao centro de massa (CM), que é o que interessa para momentos de inércia moleculares.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e posições iniciais dos átomos.
- Escolho o plano molecular como plano
e o átomo de oxigénio inicialmente na origem geométrica. Coloco a bissetriz do ângulo ao longo do eixo , de modo que os dois hidrogénios ficam simetricamente em relação ao eixo . - Definições:
- comprimento da ligação
. - meio-ângulo
. - coordenadas (medidas a partir do oxigénio):
- comprimento da ligação
- Calculo trigonométrico rápido (valores numéricos usados abaixo):
- Valores numéricos das coordenadas (a partir de
):
Passo 3
Cálculo do centro de massa (CM).
- Primeiro converto as massas para kg:
- Massa total:
- A simetria faz com que a coordenada
do CM seja zero; apenas a coordenada do CM é não-nula: - Valores numéricos:
Passo 4
Coordenadas relativas ao centro de massa.
- Deslocando para o CM, as coordenadas relativas (vou indicar apenas
e , para todos):
- Números:
Passo 5
Fórmulas dos momentos e simplificações por simetria.
- Definição prática (para partículas puntuais): o momento de inércia relativo ao eixo
é e, de forma análoga,
- Para esta molécula plana com as coordenadas escolhidas:
- os termos em
são nulos ( ), - as coordenadas
dos hidrogénios têm o mesmo valor absoluto e sinais opostos, e o oxigénio tem .
- os termos em
- Portanto:
Passo 6
Cálculo numérico dos momentos (passo a passo nas contas).
- Primeiro os quadrados das distâncias:
- Agora os termos de momento:
- Conversão útil para unidades moleculares (frequente em espectroscopia):
. Assim:
Passo 7
Interpretação final e nota prática para prova.
- Os três momentos calculados são os momentos principais (autovalores do tensor de inércia) porque escolhemos eixos que coincidem com os eixos de simetria da molécula: eixo
perpendicular ao plano e dois eixos no plano (um ao longo da bissetriz e outro perpendicular a ela). - Ordem habitual de escrita:
. Aqui: - menor momento (eixo na bissetriz do ângulo, giro que coloca os dois H próximos ao eixo):
, - momento intermédio:
, - maior momento (perpendicular ao plano):
.
- menor momento (eixo na bissetriz do ângulo, giro que coloca os dois H próximos ao eixo):
- Dica rápida para a prova: sempre coloque o CM no início, aproveite simetrias (aqui cancelamento dos
do CM) e verifique que para moléculas planas — é um bom check rápido dos cálculos.