Determine os momentos de inércia das moléculas, dados os parâmetros geométricos.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os momentos de inércia da molécula de ozônio (
) a partir dos parâmetros geométricos fornecidos. Informações dadas:
- Comprimento de ligação ).
- Ângulo
).
O que devemos fornecer: os momentos de inércia principais (valores numéricos) da molécula, calculados em relação ao centro de massa. Não foram especificadas unidades finais; vou apresentar os momentos eme também convertê-los para .
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e posições dos átomos (estratégia).\n
- Coloco a molécula no plano
. O átomo central fica inicialmente na origem e os dois átomos terminais em posições simétricas. Defino . Então os três átomos (todos de massa , mesma massa para oxigênio) têm coordenadas iniciais:
- Primeiro precisamos achar o centro de massa (COM) e depois as posições relativas ao COM; então calcular os momentos de inércia como soma de
para cada átomo.
(Lembrete didático: para um conjunto de massas puntiformes, o momento de inércia em torno de um eixo é a soma
, onde
é a distância perpendicular do ponto
ao eixo. Aqui usaremos as fórmulas componentes para um sistema de pontos no plano.)
Passo 3
Cálculo de
e coordenadas iniciais.\n
- Defino ).\n
- Valores trigonométricos (aproximações úteis):
- Usando ), as coordenadas dos terminais são
Portanto, antes de deslocar para o COM:
Passo 4
Cálculo do centro de massa (COM).\n
- Todas as massas são iguais:
. Coordenada do COM é
- Coordenada
por simetria. Logo
Passo 5
Coordenadas dos átomos relativas ao COM.\n
- Subtraio a posição do COM de cada átomo:
Passo 6
Fórmulas para os momentos de inércia principais e cálculo (ponto a ponto).\n
- Para massas puntiformes em um sistema de eixos com origem no COM, os momentos em torno dos eixos cartesianos são:
Aqui todos
. Além disso, por identidade,
para distribuição no plano
.
- Calculo das parcelas (em
por agora, usando em unidades de ): - Para o átomo central (posição
): - Para cada átomo terminal (posição
):
- Para o átomo central (posição
- Agora as somas (cada átomo tem massa
):
Passo 7
Numerical: multiplico por
(massa do oxigénio) para obter valores em
.\n
- Massa atômica do oxigênio:
(uso aqui). Então:
(Ordem crescente:
.)
Passo 8
Conversão para
.\n
- Fatores de conversão:
- Logo
.\n - Multiplicando:
Passo 9
Interpretação final curta e dica para prova.\n
- Os três momentos principais são aqueles calculados em torno dos eixos que passeiam pelo COM: eixo no plano paralelo ao eixo molecular (a), eixo no plano perpendicular a esse (b) e eixo perpendicular ao plano molecular (c). Para a molécula de
os valores numéricos são os apresentados abaixo. \n
Dica prática: em triatômicas simétricas, colocar o átomo central na origem e depois deslocar para o COM é procedimento padrão; o momento perpendicular ao plano costuma ser a soma dos dois momentos no plano ().