Determine os momentos de inércia das moléculas, dados os parâmetros geométricos.
\mathrm{O}_{3}, r(\mathrm{OO})=1,278 \AA, \theta(\mathrm{OOO})=116,78^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os momentos de inércia da molécula de ozônio ( \mathrm{O}_3) a partir dos parâmetros geométricos fornecidos. Informações dadas:
  • Comprimento de ligação \;r(\mathrm{O}-\mathrm{O}) = \(1,278\\ \text{\AA}).
  • Ângulo \;\theta(\mathrm{O}-\mathrm{O}-\mathrm{O}) = \(116,78^\circ).
    O que devemos fornecer: os momentos de inércia principais (valores numéricos) da molécula, calculados em relação ao centro de massa. Não foram especificadas unidades finais; vou apresentar os momentos em \text{amu}\cdot\text{\AA}^2 e também convertê-los para \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e posições dos átomos (estratégia).\n
  • Coloco a molécula no plano xy. O átomo central fica inicialmente na origem e os dois átomos terminais em posições simétricas. Defino \alpha = \dfrac{\theta}{2}. Então os três átomos (todos de massa m, mesma massa para oxigênio) têm coordenadas iniciais:
\text{átomo central: }(0,0,0), \qquad \text{átomos terminais: }\bigl(r\cos\alpha,\; \pm r\sin\alpha,\;0\bigr).áá
  • Primeiro precisamos achar o centro de massa (COM) e depois as posições relativas ao COM; então calcular os momentos de inércia como soma de m r_\perp^2 para cada átomo.
(Lembrete didático: para um conjunto de massas puntiformes, o momento de inércia em torno de um eixo é a soma \;I=\sum_i m_i d_i^2\;, onde d_i é a distância perpendicular do ponto i ao eixo. Aqui usaremos as fórmulas componentes para um sistema de pontos no plano.)

Passo 3

Cálculo de \alpha e coordenadas iniciais.\n
  • Defino \alpha = \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{116,78^\circ}{2} = \(58,39^\circ).\n
  • Valores trigonométricos (aproximações úteis):
\cos\alpha \approx 0,5259,\qquad \sin\alpha \approx 0,8506.
  • Usando r = \(1,278\\ \text{\AA}), as coordenadas dos terminais são
r\cos\alpha \approx \(1,278\cdot0,5259 = 0,6721\\ \text{\AA}\), \qquad r\sin\alpha \approx \(1,278\cdot0,8506 = 1,0871\\ \text{\AA}\).
Portanto, antes de deslocar para o COM:
\text{átomo central: }(0,0,0), \quad \text{terminal 1: }(0,6721,\;1,0871,\;0), \quad \text{terminal 2: }(0,6721,\;-1,0871,\;0).á

Passo 4

Cálculo do centro de massa (COM).\n
  • Todas as massas são iguais: m_\text{O}=m. Coordenada x do COM é
x_{\text{COM}}=\frac{m\cdot 0 + m\cdot(0,6721) + m\cdot(0,6721)}{3m}=\frac{2\cdot0,6721}{3}=0,44807\\ \text{\AA}.
  • Coordenada y_{\text{COM}}=0 por simetria. Logo
\text{COM} = \bigl(0,44807,\;0,\;0\bigr)\\ \text{\AA}.

Passo 5

Coordenadas dos átomos relativas ao COM.\n
  • Subtraio a posição do COM de cada átomo:
\text{átomo central: }\bigl(0-0,44807,\;0,\;0\bigr)=(-0,44807,\;0,\;0).á
\text{terminal 1: }\bigl(0,6721-0,44807,\;1,0871,\;0\bigr)=(0,22403,\;1,08707,\;0).
\text{terminal 2: }\bigl(0,6721-0,44807,\;-1,0871,\;0\bigr)=(0,22403,\;-1,08707,\;0).

Passo 6

Fórmulas para os momentos de inércia principais e cálculo (ponto a ponto).\n
  • Para massas puntiformes em um sistema de eixos com origem no COM, os momentos em torno dos eixos cartesianos são:
I_x=\sum_i m_i\bigl(y_i^2+z_i^2\bigr),\qquad I_y=\sum_i m_i\bigl(x_i^2+z_i^2\bigr),\qquad I_z=\sum_i m_i\bigl(x_i^2+y_i^2\bigr).
Aqui todos z_i=0. Além disso, por identidade, I_z=I_x+I_y para distribuição no plano xy.
  • Calculo das parcelas (em \text{amu}\cdot\text{\AA}^2 por agora, usando m em unidades de \text{amu}):
    • Para o átomo central (posição (-0,44807,0,0)): x_c^2 = (0,44807)^2 = 0,20075,\qquad y_c^2=0.
    • Para cada átomo terminal (posição (0,22403,\pm1,08707,0)): x_t^2 = (0,22403)^2 = 0,05019,\qquad y_t^2 = (1,08707)^2 = 1,18271.
  • Agora as somas (cada átomo tem massa m):
I_x = m\bigl(0 + 1,18271 + 1,18271\bigr)= m\cdot 2,36542.
I_y = m\bigl(0,20075 + 0,05019 + 0,05019\bigr)= m\cdot 0,30113.
I_z = I_x + I_y = m\cdot 2,66655.

Passo 7

Numerical: multiplico por m (massa do oxigénio) para obter valores em \text{amu}\cdot\text{\AA}^2.\n
  • Massa atômica do oxigênio: m = 15,999\\ \text{u} (uso 1\\ \text{u} = 1 \text{amu} aqui). Então:
I_x = 15,999\cdot 2,36542 \approx 37,844\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2,
I_y = 15,999\cdot 0,30113 \approx 4,818\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2,
I_z = 15,999\cdot 2,66655 \approx 42,662\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2.
(Ordem crescente: I_y < I_x < I_z.)

Passo 8

Conversão para \text{kg}\cdot\text{m}^2.\n
  • Fatores de conversão:
1\\ \text{u} = 1,66053906660\times10^{-27}\\ \text{kg},\qquad 1\\ \text{\AA} = 10^{-10}\\ \text{m}.
  • Logo 1\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2 = 1,66053906660\times10^{-47}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.\n
  • Multiplicando:
I_x \approx 37,844\cdot1,66053906660\times10^{-47} \approx 6,28\times10^{-46}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2,
I_y \approx 4,818\cdot1,66053906660\times10^{-47} \approx 8,00\times10^{-47}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2,
I_z \approx 42,662\cdot1,66053906660\times10^{-47} \approx 7,08\times10^{-46}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 9

Interpretação final curta e dica para prova.\n
  • Os três momentos principais são aqueles calculados em torno dos eixos que passeiam pelo COM: eixo no plano paralelo ao eixo molecular (a), eixo no plano perpendicular a esse (b) e eixo perpendicular ao plano molecular (c). Para a molécula de \mathrm{O}_3 os valores numéricos são os apresentados abaixo. \n
    Dica prática: em triatômicas simétricas, colocar o átomo central na origem e depois deslocar para o COM é procedimento padrão; o momento perpendicular ao plano costuma ser a soma dos dois momentos no plano ( I_c=I_a+I_b).

Resposta

I_a = 4,818\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2 = 8,00\times10^{-47}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\n
I_b = 37,844\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2 = 6,28\times10^{-46}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\n
I_c = 42,662\\ \text{amu}\cdot\text{\AA}^2 = 7,08\times10^{-46}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

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