Determine os momentos inerciais
de uma lâmina delgada limitada pela região
, onde
é a sua densidade em todo ponto.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os momentos de inércia de uma lâmina delgada de densidade uniforme f(x,y)=1, limitada pela região S dada por y=±sin²(x), com x variando de -π a π. O conteúdo principal é momento de inércia de uma região plana, usando as definições
Momento em relação ao eixo x:
Momento em relação ao eixo x:
Momento em relação ao eixo y:
Para resolver, vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas e algumas identidades de integrais trigonométricas.
Passo 2
Para I_x, fazemos a integral dupla
Integrando primeiro em y:
Logo
Como
é função par, temos
Usando a fórmula
para n=6, obtemos
Portanto
Passo 3
Para I_y, montamos
Como
é par,
Usamos
e escrevemos
O primeiro termo é
. Para
aplicamos duas vezes integração por partes e obtemos
. Assim
Finalmente,
Resposta
I_x=\frac{5\pi}{12},\quad I_y=\frac{2\pi^3}{3}-\pi