Determine os momentos inerciais Ix, Iy de uma lâmina delgada limitada pela região S, onde f(x, y) é a sua densidade em todo ponto.
y=sin ^2(x), y=-sin ^2(x),-pi <= x <= pi, f(x, y)=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular os momentos de inércia de uma lâmina delgada de densidade uniforme f(x,y)=1, limitada pela região S dada por y=±sin²(x), com x variando de -π a π. O conteúdo principal é momento de inércia de uma região plana, usando as definições
Momento em relação ao eixo x:
Ix=integral duplaS y^2,dA
Momento em relação ao eixo y:
Iy=integral duplaS x^2,dA
Para resolver, vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas e algumas identidades de integrais trigonométricas.

Passo 2

Para I_x, fazemos a integral dupla
Ix=integralx=-pi^piintegraly=-sin^2x^sin^2xy^2,dy,dx
Integrando primeiro em y:
integral-sin^2x^sin^2xy^2,dy=[y^33]-sin^2x^sin^2x=23sin^6x
Logo
Ix=23integral-pi^pisin^6x,dx
Como sin^6x é função par, temos
Ix=43integral0^pisin^6x,dx
Usando a fórmula integral0^pisin^n x,dx=(n-1)!!n!!pi para n=6, obtemos
integral0^pisin^6x,dx=1cdot3cdot52cdot4cdot6pi=5pi16
Portanto
Ix=43cdot5pi16=5pi12

Passo 3

Para I_y, montamos
Iy=integral-pi^piintegral-,sin^2x^sin^2xx^2,dy,dx =2integral-pi^pix^2sin^2x,dx
Como x^2sin^2x é par,
Iy=4integral0^pix^2sin^2x,dx
Usamos sin^2x=tfrac1-cos2x2 e escrevemos
integral0^pix^2sin^2x,dx=12integral0^pix^2,dx-12integral0^pix^2cos2x,dx
O primeiro termo é tfrac12cdottfracpi^33=tfracpi^36. Para integral0^pi x^2cos2x,dx aplicamos duas vezes integração por partes e obtemos tfracpi2. Assim
integral0^pix^2sin^2x,dx=pi^36-12cdotpi2=pi^36-pi4
Finalmente,
Iy=4l(pi^36-pi4r)=2pi^33-pi

Resposta

I_x=\frac{5\pi}{12},\quad I_y=\frac{2\pi^3}{3}-\pi

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