Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}=\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\sum_{k=0}^{n} x^{k}= \sqrt{2}
onde \,x é a incógnita e n é um inteiro positivo fixo (consideramos n finito, pois o enunciado está adequadamente formulado). A pergunta é: classificar esta equação como algébrica (e, em caso afirmativo, polinomial ou não) ou como transcendental.

Passo 2

Vou lembrar, de forma simples e direta, o que significam as classificações que vamos usar.
Definição de equação polinomial: uma equação é polinomial quando pode ser escrita na forma
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=0,
onde os a_{i} são constantes (os coeficientes) e x aparece apenas com potências inteiras não negativas. Aqui cada a_{i} é um número fixo (podem ser reais, racionais, ou até números algébricos).
Definição de equação algébrica (mais geral): é uma equação da forma
P(x)=0
onde P é um polinómio com coeficientes que sejam números algébricos. Se x satisfaz tal equação dizemos que x é um número algébrico.
Definição de equação transcendental: é uma equação em que a incógnita aparece dentro de funções transcendentais (por exemplo \mathrm{e}^x, \log x, \sin x, potenciação com expoente variável não inteiro, séries infinitas não reduzíveis a polinómios etc.), de modo que não se pode escrever a equação como um polinómio igual a zero.

Passo 3

Observando a equação dada, escrevo-a explicitamente com os termos:
x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1=\sqrt{2}.
Isto é uma soma finita de potências de x, cada termo é do tipo x^{k} com k inteiro entre 0 e n. Não há exponenciais, logaritmos, senos, cossenos nem séries infinitas — apenas potências inteiras, portanto a parte à esquerda é um polinómio em x.

Passo 4

Reescrevo a equação trazendo tudo para o lado esquerdo, obtendo uma forma polinomial igual a zero:
x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1-\sqrt{2}=0.
Isto é exatamente um polinómio em x de grau n, cujos coeficientes são:
a_{n}=1,\; a_{n-1}=1,\;\ldots,\; a_{1}=1,\; a_{0}=1-\sqrt{2}.
Note que 1-\sqrt{2} é um número algébrico (pois \sqrt{2} satisfaz \,t^{2}-2=0), então todos os coeficientes do polinómio são números algébricos.

Passo 5

Como a equação pode ser escrita como um polinómio em x igual a zero, ela é uma equação polinomial. Porque os coeficientes são números algébricos (no caso, inteiros e 1-\sqrt{2}), a equação é também algébrica no sentido geral. Além disso, não há nenhuma função transcendental envolvendo x nessa equação. Logo não é transcendental.

Passo 6

Conclusão prática para a prova: sempre que vir uma soma finita de potências \sum_{k=0}^n c_k x^k (com n finito) igual a alguma constante, isto é um polinómio — basta reunir tudo de um lado e verificar os coeficientes. Só vira transcendental se aparecerem funções como \mathrm{e}^{x}, \log x, \sin x, ou uma soma infinita que não se reduza a polinómio.

Resposta

Algébrica (polinomial).

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