Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
onde
é a incógnita e
é um inteiro positivo fixo (consideramos
finito, pois o enunciado está adequadamente formulado). A pergunta é: classificar esta equação como algébrica (e, em caso afirmativo, polinomial ou não) ou como transcendental.
Passo 2
Vou lembrar, de forma simples e direta, o que significam as classificações que vamos usar.
Definição de equação polinomial: uma equação é polinomial quando pode ser escrita na forma
onde os
são constantes (os coeficientes) e
aparece apenas com potências inteiras não negativas. Aqui cada
é um número fixo (podem ser reais, racionais, ou até números algébricos).
Definição de equação algébrica (mais geral): é uma equação da forma
onde
é um polinómio com coeficientes que sejam números algébricos. Se
satisfaz tal equação dizemos que
é um número algébrico.
Definição de equação transcendental: é uma equação em que a incógnita aparece dentro de funções transcendentais (por exemplo
,
,
, potenciação com expoente variável não inteiro, séries infinitas não reduzíveis a polinómios etc.), de modo que não se pode escrever a equação como um polinómio igual a zero.
Passo 3
Observando a equação dada, escrevo-a explicitamente com os termos:
Isto é uma soma finita de potências de
, cada termo é do tipo
com
inteiro entre
e
. Não há exponenciais, logaritmos, senos, cossenos nem séries infinitas — apenas potências inteiras, portanto a parte à esquerda é um polinómio em
.
Passo 4
Reescrevo a equação trazendo tudo para o lado esquerdo, obtendo uma forma polinomial igual a zero:
Isto é exatamente um polinómio em
de grau
, cujos coeficientes são:
Note que
é um número algébrico (pois
satisfaz
), então todos os coeficientes do polinómio são números algébricos.
Passo 5
Como a equação pode ser escrita como um polinómio em
igual a zero, ela é uma equação polinomial. Porque os coeficientes são números algébricos (no caso, inteiros e
), a equação é também algébrica no sentido geral. Além disso, não há nenhuma função transcendental envolvendo
nessa equação. Logo não é transcendental.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: sempre que vir uma soma finita de potências
(com
finito) igual a alguma constante, isto é um polinómio — basta reunir tudo de um lado e verificar os coeficientes. Só vira transcendental se aparecerem funções como
,
,
, ou uma soma infinita que não se reduza a polinómio.
Resposta
Algébrica (polinomial).