9 Mostre que a multiplicidade da r=2 como raiz da equação P(x)=x^{4}+x^{3}-30 x^{2}+76 x-56 é m=3.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{4}+x^{3}-30x^{2}+76x-56
e pede para mostrar que r=2 é raiz de multiplicidade m=3.
Lembrando que, por definição, uma raiz r tem multiplicidade m exatamente quando
P(r)=P'(r)=\cdots=P^{(m-1)}(r)=0 \quad\text{e}\quad P^{(m)}(r)\neq0.
Vamos então calcular P(2), P'(2), P''(2) e P'''(2).

Passo 2

Calcular P(2).
P(2)=2^{4}+2^{3}-30\cdot2^{2}+76\cdot2-56 =16+8-120+152-56 =0.

Passo 3

Obter P'(x) e avaliar em x=2.
P'(x)=4x^{3}+3x^{2}-60x+76
P'(2)=4\cdot2^{3}+3\cdot2^{2}-60\cdot2+76 =32+12-120+76 =0.

Passo 4

Obter P''(x) e avaliar em x=2.
P''(x)=12x^{2}+6x-60
P''(2)=12\cdot2^{2}+6\cdot2-60 =48+12-60 =0.

Passo 5

Obter P'''(x) e avaliar em x=2.
P'''(x)=24x+6
P'''(2)=24\cdot2+6 =48+6 =54\neq0.

Passo 6

Como
P(2)=P'(2)=P''(2)=0 \quad\text{e}\quad P'''(2)\neq0,
segue que a multiplicidade de r=2 é exatamente m=3.

Resposta

A multiplicidade de r=2 como raiz de P(x) é m=3.

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