8 Determine a multiplicidade m da raiz r=1 na equação P(x)=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+2 x-1=0
Passo 1
O enunciado dá o polinômio P(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1
e pede a multiplicidade da raiz r=1.
Para isso vamos usar o critério de derivadas sucessivas: se
P(1)=P'(1)=\cdots=P^{(k-1)}(1)=0
e
P^{(k)}(1)\neq 0,
então a multiplicidade de x=1 é k.
Passo 2
Avaliaremos primeiro
P(1)=1-2+1-1+2-1=0.
Como P(1)=0, temos que (x-1) é fator de P(x), ou seja, 1 é raiz (multiplicidade >=1).
Passo 3
Agora calculamos a primeira derivada:
P'(x)=5x^{4}-8x^{3}+3x^{2}-2x+2.
Em x=1:
P'(1)=5-8+3-2+2=0.
Logo a raiz 1 é de multiplicidade >=2.
Passo 4
Calculamos as derivadas de ordem 2 e 3:
P''(x)=20x^{3}-24x^{2}+6x-2,
P'''(x)=60x^{2}-48x+6.
Em x=1:
P''(1)=20-24+6-2=0,
P'''(1)=60-48+6=18\neq0.
A terceira derivada é a primeira não nula em x=1, portanto a multiplicidade da raiz é 3.