De um levantamento topográfico são conhecidas as coordenadas UTM de dois pontos A e B (na carta). Pede-se calcular a distância plana (UTM) e a distância real no terreno.
Obs.: considerar o fator de escala tabelado e, para aplicação na distância, utilizar o fator de escala médio entre os valores encontrados para cada um dos pontos.
Coordenadas dos pontos A e B:
\mathrm{N}(\mathrm{m}) \mathrm{E}(\mathrm{m})
A 6879475,823 221845,907
B 6881324,537 230321,845
TABELA 1 - FATOR DE ESCALA. FONTE: IBGE (2012).
E ou E K E ou E K
500.000500 .000 0,99960 290.000710 .000 1,00014
490.000510 .000 0,99960 280.000720 .000 1,00020
480.000520 .000 0,99960 270.000730 .000 1,00025
470.000530 .000 0,99961 260.000740 .000 1,00031
460.000540 .000 0,99962 250.000750 .000 1,00037
450.000550 .000 0,99963 240.000760 .000 1,00043
440.000560 .000 0,99964 230.000770 .000 1,00050
430.000570 .000 0,99966 220.000780 .000 1,00057
420.000580 .000 0,99968 210.000790 .000 1,00065
410.000590 .000 0,99970 200.000800 .000 1,00071
400.000600 .000 0,99972 190.000810 .000 1,00079
390.000610 .000 0,99975 180.000820 .000 1,00086
380.000620 .000 0,99978 170.000830 .000 1,00094
370.000630 .000 0,99981 160.000840 .000 1,00103
360.000640 .000 0,99984 150.000850 .000 1,00111
350.000650 .000 0,99988 140.000860 .000 1,00120
340.000660 .000 0,99992 130.000870 .000 1,00129
330.000670 .000 0,99996 120.000880 .000 1,00138
320.000680 .000 1,00000 110.000890 .000 1,00148
310.000690 .000 1,00005 100.000900 .000 1,00158
300.000700 .000 1,00009

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas UTM de dois pontos A e B e pede (1) a distância plana no sistema de projeção e (2) a distância real no terreno usando o fator de escala da projeção. Para resolver vamos:
– Calcular a distância planimétrica entre A e B por Pitágoras em \mathrm{m}.
– Ler na tabela o fator de escala K correspondente à longitude (coordenada Este) de cada ponto.
– Tomar o valor médio K_\mathrm{médio}=(K_A+K_B)/2é.
– Converter distância planimétrica em distância real no terreno dividindo pela escala média.

Passo 2

Calcular as diferenças de coordenadas:
\Delta E = E_B - E_A = 230\,321,845 - 221\,845,907 = 8\,475,938\\ \text{m},
\Delta N = N_B - N_A = 6\,881\,324,537 - 6\,879\,475,823 = 1\,848,714\\ \text{m}.

Passo 3

Distância planimétrica (plana)
d_{\text{plana}} =\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2} =\sqrt{(8\,475,938)^2 + (1\,848,714)^2} \approx 8\,670,4\\ \text{m}.

Passo 4

Ler na Tabela 1 o fator de escala K para cada Coordenada Este:
– Para E_A=221\,845,907 m (entre 220 000 e 230 000) tem K_A=1,00057.
– Para E_B=230\,321,845 m (entre 230 000 e 240 000) tem K_B=1,00050.

Passo 5

Calcular o fator médio e a distância real no terreno:
K_{\mathrm{médio}} =\frac{K_A + K_B}{2} =\frac{1,00057 + 1,00050}{2} =1,000535,é
d_{\text{real}} =\frac{d_{\text{plana}}}{K_{\mathrm{médio}}} =\frac{8\,670,4}{1,000535} \approx 8\,665,8\\ \text{m}.é

Resposta

Distância plana: \;8\,670,4\\ \text{m}
Distância real no terreno: \;8\,665,8\\ \text{m}

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