9 Mostre que a multiplicidade da r=2 como raiz da equação P(x)=x^{4}+x^{3}-30 x^{2}+76 x-56 é m=3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a raiz r=2 do polinômio
P(x)=x^{4}+x^{3}-30x^{2}+76x-56
tem multiplicidade m=3. Para isso, vamos usar o fato de que, se uma raiz r tem multiplicidade m, então
1) P(r)=0,
2) P'(r)=0,
···
m-ésima derivada em r é não nula, e todas as derivadas de ordem menor que m são nulas.

Passo 2

Calcular P(2):
P(2)=2^{4}+2^{3}-30\cdot2^{2}+76\cdot2-56 =16+8-120+152-56 =24-120+96 =0.
Logo, P(2)=0.

Passo 3

Determinar P'(x) e avaliar em x=2.
P'(x)=4x^{3}+3x^{2}-60x+76
P'(2)=4\cdot2^{3}+3\cdot2^{2}-60\cdot2+76 =32+12-120+76 =44-120+76 =0.
Logo, P'(2)=0.

Passo 4

Determinar P''(x) e avaliar em x=2.
P''(x)=12x^{2}+6x-60
P''(2)=12\cdot2^{2}+6\cdot2-60 =48+12-60 =0.
Logo, P''(2)=0.

Passo 5

Determinar P'''(x) e avaliar em x=2.
P'''(x)=24x+6
P'''(2)=24\cdot2+6 =48+6 =54\neq0.
Como P(2)=P'(2)=P''(2)=0 e P'''(2)\neq0, concluímos que a raiz x=2 tem multiplicidade exatamente 3.

Resposta

A multiplicidade de r=2 é m=3.

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