9 Mostre que a multiplicidade da
como raiz da equação
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a raiz
do polinômio
tem multiplicidade
. Para isso, vamos usar o fato de que, se uma raiz
tem multiplicidade
, então
)
,
)
,
···
-ésima derivada em
é não nula, e todas as derivadas de ordem menor que
são nulas.
···
Passo 2
Calcular
:
Logo,
.
Passo 3
Determinar
e avaliar em
.
Logo,
.
Passo 4
Determinar
e avaliar em
.
Logo,
.
Passo 5
Determinar
e avaliar em
.
Como
e
, concluímos que a raiz
tem multiplicidade exatamente
.
Resposta
A multiplicidade de
é
.