Determine \lim \sqrt{1+\frac{1}{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim \sqrt{1+\frac{1}{n}}
Aqui vou entender que a variável n é um número inteiro positivo que tende a +\infty. Ou seja, o problema é encontrar
\lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}}.
As informações que temos são apenas a expressão da sequência a_n=\sqrt{1+\frac{1}{n}} e a intenção de estudar seu comportamento quando n cresce sem limite.

Passo 2

Observação útil e simples: a parte dentro da raiz é 1+\frac{1}{n}. Sabendo que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
temos intuitivamente que
1+\frac{1}{n}\longrightarrow 1 \quad (n\to\infty).
Vou agora transformar essa intuição em um argumento direto sobre \sqrt{1+\frac{1}{n}}, sem depender só do fato geral da continuidade.

Passo 3

Considere a diferença entre a sequência e 1:
\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1.
Multiplico numerador e denominador pelo conjugado para simplificar:
\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1 = \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)-1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} = \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}.

Passo 4

Agora faço uma estimativa do denominador para obter um limite direto. Para todo n\ge 1 vale \sqrt{1+\frac{1}{n}}\ge 1, portanto
\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 \ge 1+1 = 2.
Assim
\left|\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right| = \frac{1/n}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \le \frac{1/n}{2}=\frac{1}{2n}.

Passo 5

Como \dfrac{1}{2n}\to 0 quando n\to\infty, pela desigualdade anterior segue que
\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1 \longrightarrow 0 \quad (n\to\infty).
Logo
\lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1.

Resposta

1

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