Determine
para que
! seja um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os inteiros positivos
tais que a soma
é um quadrado perfeito.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
Informações relevantes dadas pelo enunciado (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
- A soma tem termos do tipo
(fatorial), onde significa . - Podemos testar valores pequenos de
diretamente. - Para
grandes, tem fatores primos óbvios (por exemplo e quando ) que nos permitem usar congruências (restos) para eliminar possibilidades.
Passo 2
Vamos calcular a soma explicitamente para os primeiros valores de
e ver se são quadrados perfeitos. Lembre-se: um quadrado perfeito é um número igual a
para algum inteiro
.
Calculemos termo a termo:
Até aqui,
e
funcionam;
e
não. Agora precisamos mostrar que nenhum
pode funcionar.
Passo 3
Vamos entender uma propriedade importante dos fatoriais para
. Para tais
temos que
contém, entre seus fatores, um
e um
(porque
e
aparecem entre
). Portanto, para todo
vale:
Em notação de congruências, isso significa que para todo
temos
Passo 4
Usando a propriedade acima, para qualquer
podemos reduzir a soma módulo
descartando todos os termos desde
até
, pois eles são
módulo
. Logo
Mas calculamos a soma até
no Passo 2:
Portanto, para
,
Passo 5
Agora precisamos saber se um quadrado perfeito pode ter resto
ao dividir por
. Vamos verificar os restos possíveis de quadrados mod
. Calculamos
para
:
Os possíveis restos de um quadrado módulo
formam o conjunto
. Note que
NÃO está nesse conjunto.
Passo 6
Combinando os resultados: para qualquer
mostramos que
. Como nenhum quadrado perfeito pode ser congruente a
módulo
, concluímos que para
a soma não pode ser um quadrado perfeito.
Juntando com a verificação direta dos casos pequenos feita no Passo 2, obtemos que os únicos
positivos tais que
é quadrado perfeito são
e
.