Determine n para que \sum_{k=1}^{n} k ! seja um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os inteiros positivos n tais que a soma
\sum_{k=1}^{n} k!
é um quadrado perfeito.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • A soma tem termos do tipo k! (fatorial), onde k! significa 1\cdot 2\cdot 3\cdots k.
  • Podemos testar valores pequenos de n diretamente.
  • Para k grandes, k! tem fatores primos óbvios (por exemplo 2 e 5 quando k\ge 5) que nos permitem usar congruências (restos) para eliminar possibilidades.

Passo 2

Vamos calcular a soma explicitamente para os primeiros valores de n e ver se são quadrados perfeitos. Lembre-se: um quadrado perfeito é um número igual a m^2 para algum inteiro m.
Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} \text{Para } n=1:\quad &\sum_{k=1}^{1} k! = 1! = 1 = 1^2 \quad\text{(é quadrado).} \\\ \text{Para } n=2:\quad &\sum_{k=1}^{2} k! = 1! + 2! = 1 + 2 = 3 \quad\text{(não é quadrado).} \\\ \text{Para } n=3:\quad &\sum_{k=1}^{3} k! = 1 + 2 + 6 = 9 = 3^2 \quad\text{(é quadrado).} \\\ \text{Para } n=4:\quad &\sum_{k=1}^{4} k! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 \quad\text{(não é quadrado, pois }5^2=25\text{ e }6^2=36). \end{aligned}éãééãé
Até aqui, n=1 e n=3 funcionam; n=2 e n=4 não. Agora precisamos mostrar que nenhum n\ge 5 pode funcionar.

Passo 3

Vamos entender uma propriedade importante dos fatoriais para k\ge 5. Para tais k temos que k! contém, entre seus fatores, um 2 e um 5 (porque 2 e 5 aparecem entre 1,2,\dots,k). Portanto, para todo k\ge 5 vale:
k!\\ \text{é divisível por}\\\ 10.éí
Em notação de congruências, isso significa que para todo k\ge 5 temos
k! \equiv 0 \pmod{10}.

Passo 4

Usando a propriedade acima, para qualquer n\ge 5 podemos reduzir a soma módulo 10 descartando todos os termos desde 5! até n!, pois eles são 0 módulo 10. Logo
\sum_{k=1}^{n} k! \equiv \sum_{k=1}^{4} k! \pmod{10}.
Mas calculamos a soma até 4 no Passo 2:
\sum_{k=1}^{4} k! = 33.
Portanto, para n\ge 5,
\sum_{k=1}^{n} k! \equiv 33 \equiv 3 \pmod{10}.

Passo 5

Agora precisamos saber se um quadrado perfeito pode ter resto 3 ao dividir por 10. Vamos verificar os restos possíveis de quadrados mod 10. Calculamos r^2 \pmod{10} para r=0,1,\dots,9:
\begin{aligned} 0^2 &\equiv 0 \pmod{10},\\\\ 1^2 &\equiv 1 \pmod{10},\\\\ 2^2 &\equiv 4 \pmod{10},\\\\ 3^2 &\equiv 9 \pmod{10},\\\\ 4^2 &\equiv 6 \pmod{10},\\\\ 5^2 &\equiv 5 \pmod{10},\\\\ 6^2 &\equiv 6 \pmod{10},\\\\ 7^2 &\equiv 9 \pmod{10},\\\\ 8^2 &\equiv 4 \pmod{10},\\\\ 9^2 &\equiv 1 \pmod{10}. \end{aligned}
Os possíveis restos de um quadrado módulo 10 formam o conjunto \{0,1,4,5,6,9\}. Note que 3 NÃO está nesse conjunto.

Passo 6

Combinando os resultados: para qualquer n\ge 5 mostramos que \sum_{k=1}^{n} k! \equiv 3 \pmod{10}. Como nenhum quadrado perfeito pode ser congruente a 3 módulo 10, concluímos que para n\ge 5 a soma não pode ser um quadrado perfeito.
Juntando com a verificação direta dos casos pequenos feita no Passo 2, obtemos que os únicos n positivos tais que \sum_{k=1}^{n} k! é quadrado perfeito são n=1 e n=3.

Resposta

1
3

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