Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas que vamos usar:
- A expressão é uma razão com numerador
e denominador . - Queremos o valor quando
se aproxima de . - Não há outras restrições (por exemplo,
tende a pelos reais).
Passo 2
Primeiro faço uma manipulação algébrica simples para separar termos:
Essa separação é válida porque
. Agora o limite é a soma de dois limites (se ambos existirem):
Passo 3
Vou estudar o primeiro limite
. Esse é um limite clássico e muito usado em provas. A maneira elementar de justificar que ele vale
usa desigualdades trigonométricas para
pequeno (em radianos).
Para
vale a cadeia de desigualdades geométrica
Explicando rapidamente: de
(área/arc) obtemos
; de
(também geométrico) obtemos
. Para
a função
é par (pois
é ímpar e
é ímpar, a razão é par), então as mesmas desigualdades se mantêm em valor absoluto, e a conclusão sobre o limite em
é a mesma.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem) à desigualdade
, e sabendo que
segue que
(Se preferir, outra justificativa é usar a série de Taylor
e dividir por
, mas a prova por squeeze é a mais básica em provas sem cálculo de séries.)
Passo 5
Agora trato o segundo limite
.
Observação: para todo
temos
. Portanto
Multiplicando por
obtemos
Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
Intuitivamente:
é uma função limitada (entre
e
) e está sendo multiplicada por
que tende a zero, então o produto tende a zero.
Passo 6
Somando os limites encontrados:
Portanto o limite pedido existe e vale
.