\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x^{2}(1+\cos (10 x))}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x + x^{2}\bigl(1+\cos(10x)\bigr)}{x}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão é uma razão com numerador \sin x + x^{2}(1+\cos(10x)) e denominador x.
  • Queremos o valor quando x se aproxima de 0.
  • Não há outras restrições (por exemplo, x tende a 0 pelos reais).

Passo 2

Primeiro faço uma manipulação algébrica simples para separar termos:
\frac{\sin x + x^{2}\bigl(1+\cos(10x)\bigr)}{x} = \frac{\sin x}{x} + \frac{x^{2}\bigl(1+\cos(10x)\bigr)}{x} = \frac{\sin x}{x} + x\bigl(1+\cos(10x)\bigr).
Essa separação é válida porque \frac{a+b}{x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x}. Agora o limite é a soma de dois limites (se ambos existirem):
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \;+\; \lim_{x\to 0} x\bigl(1+\cos(10x)\bigr).

Passo 3

Vou estudar o primeiro limite \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}. Esse é um limite clássico e muito usado em provas. A maneira elementar de justificar que ele vale 1 usa desigualdades trigonométricas para x pequeno (em radianos).
Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a cadeia de desigualdades geométrica
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
Explicando rapidamente: de \sin x < x (área/arc) obtemos \frac{\sin x}{x} < 1; de x<\tan x (também geométrico) obtemos \cos x < \frac{\sin x}{x}. Para x<0 a função \dfrac{\sin x}{x} é par (pois \sin é ímpar e x é ímpar, a razão é par), então as mesmas desigualdades se mantêm em valor absoluto, e a conclusão sobre o limite em 0 é a mesma.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem) à desigualdade \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1, e sabendo que
\lim_{x\to 0}\cos x = 1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0}1 = 1,
segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.
(Se preferir, outra justificativa é usar a série de Taylor \sin x = x - \tfrac{x^{3}}{6}+\cdots e dividir por x, mas a prova por squeeze é a mais básica em provas sem cálculo de séries.)

Passo 5

Agora trato o segundo limite \lim_{x\to 0} x\bigl(1+\cos(10x)\bigr).
Observação: para todo x temos -1\le \cos(10x)\le 1. Portanto
0 \le 1+\cos(10x) \le 2.
Multiplicando por |x| obtemos
0 \le |x|\,(1+\cos(10x)) \le 2|x|.
Como \lim_{x\to 0}2|x| = 0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0} x\bigl(1+\cos(10x)\bigr) = 0.
Intuitivamente: 1+\cos(10x) é uma função limitada (entre 0 e 2) e está sendo multiplicada por x que tende a zero, então o produto tende a zero.

Passo 6

Somando os limites encontrados:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} + \lim_{x\to 0} x\bigl(1+\cos(10x)\bigr) = 1 + 0 = 1.
Portanto o limite pedido existe e vale 1.

Resposta

1

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