\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}+3 x^{2}-10 x+2+\sin x}{3 x^{3}-1}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{2x^{3}+3x^{2}-10x+2+\sin x}{3x^{3}-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é a soma de um polinômio 2x^{3}+3x^{2}-10x+2 com a função trigonométrica \sin x.
  • O denominador é o polinômio 3x^{3}-1.
  • O ponto onde tomamos o limite é x=1.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do conceito que vou usar):
  • Vou verificar se é possível usar substituição direta, isto é, calcular o numerador e o denominador em x=1 e formar a razão. Isso é válido quando as funções envolvidas são contínuas no ponto e o denominador no ponto não é zero.
  • Breve explicação sobre continuidade e leis de limite: uma função f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Polinômios são contínuos em todos os pontos; \sin x também é contínua em todos os pontos. Para duas funções contínuas f e g com g(a)\neq 0, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
  • Conclusão da estratégia: como numerador (polinômio + \sin x) e denominador (polinômio) são contínuos em x=1, basta verificar que o denominador em 1 não é zero; se não for, aplicamos substituição direta.

Passo 3

Calcular o valor do numerador em x=1 passo a passo:
  • Primeiro calcule o polinômio em 1:
2\cdot 1^{3}+3\cdot 1^{2}-10\cdot 1+2 = 2+3-10+2.
  • Somando term a term:
2+3=5,\quad 5-10=-5,\quad -5+2=-3.
  • Portanto o polinômio vale -3 em x=1. Somando \sin x em x=1 temos o numerador igual a
-3+\sin 1.

Passo 4

Calcular o valor do denominador em x=1:
3\cdot 1^{3}-1 = 3-1 = 2.
Observação importante: o denominador em x=1 é \;2\neq 0\;, então não há indeterminação do tipo \frac{0}{0} nem divisão por zero.

Passo 5

Aplicando a regra de substituição direta (já justificada pela continuidade das funções e pelo denominador não nulo), o limite é a razão dos valores encontrados:
\lim_{x\to 1}\frac{2x^{3}+3x^{2}-10x+2+\sin x}{3x^{3}-1}=\frac{-3+\sin 1}{2}.
Podemos reescrever de forma ligeiramente mais agradável como
\frac{\sin 1-3}{2}.

Resposta

\dfrac{\sin 1-3}{2}

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