Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é a soma de um polinômio
com a função trigonométrica . - O denominador é o polinômio
. - O ponto onde tomamos o limite é
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do conceito que vou usar):
- Vou verificar se é possível usar substituição direta, isto é, calcular o numerador e o denominador em
e formar a razão. Isso é válido quando as funções envolvidas são contínuas no ponto e o denominador no ponto não é zero. - Breve explicação sobre continuidade e leis de limite: uma função
é contínua em se . Polinômios são contínuos em todos os pontos; também é contínua em todos os pontos. Para duas funções contínuas e com , vale
- Conclusão da estratégia: como numerador (polinômio +
) e denominador (polinômio) são contínuos em , basta verificar que o denominador em não é zero; se não for, aplicamos substituição direta.
Passo 3
Calcular o valor do numerador em
passo a passo:
- Primeiro calcule o polinômio em
:
- Somando term a term:
- Portanto o polinômio vale
em . Somando em temos o numerador igual a
Passo 4
Calcular o valor do denominador em
:
Observação importante: o denominador em
é
, então não há indeterminação do tipo
nem divisão por zero.
Passo 5
Aplicando a regra de substituição direta (já justificada pela continuidade das funções e pelo denominador não nulo), o limite é a razão dos valores encontrados:
Podemos reescrever de forma ligeiramente mais agradável como