Quantas diagonais possui:
um prisma hexagonal regular?
um prisma hexagonal regular?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas diagonais possui um prisma hexagonal regular?”\n
Informações dadas (ou óbvias pelo enunciado):\n
Informações dadas (ou óbvias pelo enunciado):\n
- O prisma é hexagonal regular, ou seja, as bases são hexágonos regulares.\n
- Um hexágono tem
vértices.\n - Um prisma hexagonal tem duas bases congruentes (superior e inferior) e faces laterais ligando vértices correspondentes.\n
O que precisamos encontrar: o número total de diagonais do prisma (segmentos que ligam dois vértices que não sejam arestas).
Passo 2
Contar os vértices do prisma:\n
Cada base tem vértices e há duas bases, logo o número total de vértices é
Cada base tem
Explicação breve: um vértice do prisma é um vértice de alguma das duas bases; nenhum vértice adicional aparece nas faces laterais.
Passo 3
Contar o número total de pares de vértices (todos os segmentos que ligam dois vértices, incluindo arestas e diagonais):\n
O número de maneiras de escolher 2 vértices entre é a combinação
O número de maneiras de escolher 2 vértices entre
Interpretação: existe um segmento entre cada par de vértices, então há
segmentos no total entre vértices.
Passo 4
Contar o número de arestas do prisma (esses segmentos não são diagonais e devem ser subtraídos):\n
- Cada hexágono-base tem
arestas, então as duas bases juntas contribuem com arestas.\n - Há
arestas laterais ligando cada vértice da base superior ao correspondente da base inferior.\n
Portanto o total de arestas é
Passo 5
Definir diagonal e calcular o total de diagonais:\n
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices que não são ligados por uma aresta. Assim, o número de diagonais é o total de pares de vértices menos o número de arestas:
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices que não são ligados por uma aresta. Assim, o número de diagonais é o total de pares de vértices menos o número de arestas:
Explicação: subtraímos as arestas porque elas já são segmentos entre vértices, mas não são diagonais.
Passo 6
Classificação (útil para entender melhor e para prova): face-diagonais vs diagonais espaciais.\n
- Diagonais nas bases: um hexágono tem
diagonais com , logo cada base tem
diagonais. Duas bases →
diagonais de base.\n
- Diagonais nas faces laterais: cada face lateral é um quadrilátero (retângulo) e tem
diagonais; há faces laterais → diagonais laterais.\n
Soma das diagonais que ficam em faces (face-diagonais):.\n
Diagonais espaciais (que atravessam o interior ou ligam vértices de bases não numa mesma face lateral) = totalmenos = .\n
Isso confirma a decomposição e ajuda a visualizar onde estão asdiagonais.
Passo 7
Observação geral e fórmula para uso em prova (ganha tempo):\n
Para um prisma com base -gon (qualquer
),
e
. Então
Para um prisma com base
Aplicando
obtemos
mesma resposta, mas com uma fórmula pronta para outros prismas.