Quantas diagonais possui:
um prisma hexagonal regular?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas diagonais possui um prisma hexagonal regular?”\n
Informações dadas (ou óbvias pelo enunciado):\n
  • O prisma é hexagonal regular, ou seja, as bases são hexágonos regulares.\n
  • Um hexágono tem 6 vértices.\n
  • Um prisma hexagonal tem duas bases congruentes (superior e inferior) e faces laterais ligando vértices correspondentes.\n
    O que precisamos encontrar: o número total de diagonais do prisma (segmentos que ligam dois vértices que não sejam arestas).

Passo 2

Contar os vértices do prisma:\n
Cada base tem 6 vértices e há duas bases, logo o número total de vértices é
V = 6 + 6 = 12.
Explicação breve: um vértice do prisma é um vértice de alguma das duas bases; nenhum vértice adicional aparece nas faces laterais.

Passo 3

Contar o número total de pares de vértices (todos os segmentos que ligam dois vértices, incluindo arestas e diagonais):\n
O número de maneiras de escolher 2 vértices entre V é a combinação
\binom{V}{2}=\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66.
Interpretação: existe um segmento entre cada par de vértices, então há 66 segmentos no total entre vértices.

Passo 4

Contar o número de arestas do prisma (esses segmentos não são diagonais e devem ser subtraídos):\n
  • Cada hexágono-base tem 6 arestas, então as duas bases juntas contribuem com 6+6=12 arestas.\n
  • 6 arestas laterais ligando cada vértice da base superior ao correspondente da base inferior.\n
    Portanto o total de arestas é
E = 12 + 6 = 18.

Passo 5

Definir diagonal e calcular o total de diagonais:\n
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices que não são ligados por uma aresta. Assim, o número de diagonais é o total de pares de vértices menos o número de arestas:
\text{diagonais}=\binom{12}{2}-E=66-18=48.
Explicação: subtraímos as arestas porque elas já são segmentos entre vértices, mas não são diagonais.

Passo 6

Classificação (útil para entender melhor e para prova): face-diagonais vs diagonais espaciais.\n
  • Diagonais nas bases: um hexágono tem \dfrac{n(n-3)}{2} diagonais com n=6, logo cada base tem
\frac{6(6-3)}{2}=\frac{6\cdot3}{2}=9
diagonais. Duas bases → 9+9=18 diagonais de base.\n
  • Diagonais nas faces laterais: cada face lateral é um quadrilátero (retângulo) e tem 2 diagonais; há 6 faces laterais → 6\cdot2=12 diagonais laterais.\n
    Soma das diagonais que ficam em faces (face-diagonais): 18+12=30.\n
    Diagonais espaciais (que atravessam o interior ou ligam vértices de bases não numa mesma face lateral) = total 48 menos 30 = 18.\n
    Isso confirma a decomposição e ajuda a visualizar onde estão as 48 diagonais.

Passo 7

Observação geral e fórmula para uso em prova (ganha tempo):\n
Para um prisma com base n-gon (qualquer n), V=2n e E=3n. Então
\text{diagonais}=\binom{2n}{2}-3n=\frac{2n(2n-1)}{2}-3n=n(2n-1)-3n=2n(n-2).
Aplicando n=6 obtemos
2\cdot6\cdot(6-2)=2\cdot6\cdot4=48,
mesma resposta, mas com uma fórmula pronta para outros prismas.

Resposta

48

Exercícios relacionados