Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
f(x)=raiz4+cossec^2(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=raiz4+cossec^2(3x) usando regras de derivação e propriedades operatórias. Aqui vamos aplicar a regra da cadeia (porque temos uma raiz dependente de uma expressão interna) e também lembrar a derivada da função cossecante ( ddx,csc u=-csc ucot u,u').

Passo 2

Denotamos u(x)=4+csc^2(3x), de modo que f(x)=u(x)^1/2. Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=tfrac12,u(x)^-1/2;u'(x)=u'(x)2raizu(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=4+[csc(3x)]^2, temos derivada da constante zero e
$$\frac{d}{dx}\bigl(\csc^2(3x)\bigr)=2\csc(3x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\csc(3x)\bigr).
$$

Passo 4

Sabendo que ddx,csc(3x)=-csc(3x)cot(3x)cdot3, obtemos
$$u’(x)=2\csc(3x)\bigl(-3\csc(3x)\cot(3x)\bigr)=-6\csc^2(3x)\cot(3x).
$$

Passo 5

Substituindo u'(x) em f'(x) e simplificando:
f'(x)=-6csc^2(3x)cot(3x)2raiz4+csc^2(3x)=-3,csc^2(3x)cot(3x)raiz4+csc^2(3x)

Resposta

f'(x)=-3,csc^2(3x)cot(3x)raiz4+csc^2(3x)

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