Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
usando regras de derivação e propriedades operatórias. Aqui vamos aplicar a regra da cadeia (porque temos uma raiz dependente de uma expressão interna) e também lembrar a derivada da função cossecante (
).
Passo 2
Denotamos
, de modo que
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
Passo 3
Agora calculamos
. Como
, temos derivada da constante zero e
$$\frac{d}{dx}\bigl(\csc^2(3x)\bigr)=2\csc(3x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\csc(3x)\bigr).
$$
Passo 4
Sabendo que
, obtemos
$$u’(x)=2\csc(3x)\bigl(-3\csc(3x)\cot(3x)\bigr)=-6\csc^2(3x)\cot(3x).
$$
Passo 5
Substituindo
em
e simplificando: