Considere o cilindro homogêneo (x-a)^2+y^2 <= a^2 e 0 <= z <= h.
Calcule o momento de inércia em relaçäo ao eixo z.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro homogêneo de raio a e altura h, deslocado do eixo z (origem) de modo que sua seção é
(x - a)^2 + y^2 <= a^2,
com 0 <= z <= h.
Queremos calcular o momento de inércia Iz em relação ao eixo z (reta x=y=0).

Passo 2

Seja a densidade volumétrica constante rho. A massa total do cilindro é
M = rho ,V = rho,(pi a^2h),
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rho = Mpi a^2h
Por definição,
Iz ;=;integralcilindro(x^2+y^2),dm ;=;rhointegral0^h!!integral(x-a)^2+y^2<= a^2(x^2+y^2),dA,dz
Como integrando não depende de z, isso fica
Iz = rho,h!integral(x-a)^2+y^2<= a^2(x^2+y^2),dA

Passo 3

Para avaliar a integral de área, use coordenadas polares centradas no eixo do próprio cilindro:
x = a + rcostheta, y = rsintheta,
com 0<= r<= a, 0<=theta<=2pi, e dA = r,dr,dtheta.
Então
x^2+y^2 = (a+rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = a^2 + 2a,rcostheta + r^2

Passo 4

A integral torna-se
integral0^2pi!integral0^a(a^2+2a,rcostheta + r^2),r,dr,dtheta
Separando termos e lembrando que integral0^2picostheta,dtheta=0, obtemos
integral0^2pi!integral0^a(a^2r + r^3),dr,dtheta =2pi!integral0^a(a^2r + r^3),dr =2pil[tfraca^2r^22+tfracr^44r]0^a =2pil(tfraca^42+tfraca^44r) =tfrac3pi a^42
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integral(x-a)^2+y^2<= a^2(x^2+y^2),dA =3pi a^42

Passo 5

Voltando a Iz=rho,h,(3pi a^4/2) e substituindo rho = M/(pi a^2h), resulta
Iz =Mpi a^2h,h,3pi a^42 =32,M,a^2

Resposta

Iz = 32,M,a^2

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