Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
O enunciado pede para analisar as singularidades da função
nos pontos
e em
, e para calcular os resíduos em cada uma dessas singularidades. Para isso usaremos
- Identificação de polos simples em zeros simples do denominador,
- A transformação
para estudar o ponto em infinito e extrair o resíduo correspondente.
Passo 2
As soluções de
são
e
. Como cada fator aparece em grau 1, são polos simples. Para um polo simples em
vale
Em
:
Em
:
Passo 3
Para estudar
fazemos
. Então
e
Define-se
por
Temos
logo
Como
tem infinita ordem de pólos em
,
tem singularidade essencial em
. Assim
tem singularidade essencial em
.
Passo 4
O resíduo de
em
é o coeficiente de
na expansão de
. Escrevendo
temos
O termo em
ocorre quando
, isto é
. Então
Resposta
Em
: polo simples,
Em
: polo simples,
Em
: singularidade essencial,