Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{e^{+i z}}{z^{2}-a^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

O enunciado pede para analisar as singularidades da função
f(z)=\frac{e^{i z}}{z^{2}-a^{2}},\quad a>0,
nos pontos z=\pm a e em z=\infty, e para calcular os resíduos em cada uma dessas singularidades. Para isso usaremos
  1. Identificação de polos simples em zeros simples do denominador,
  2. A transformação w=1/z para estudar o ponto em infinito e extrair o resíduo correspondente.

Passo 2

As soluções de z^{2}-a^{2}=0 são z=a e z=-a. Como cada fator aparece em grau 1, são polos simples. Para um polo simples em z=z_{0} vale
\Res(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z).
Em z=a:
\Res\bigl(f,a\bigr) =\lim_{z\to a}(z-a)\frac{e^{i z}}{(z-a)(z+a)} =\frac{e^{i a}}{2a}.
Em z=-a:
\Res\bigl(f,-a\bigr) =\lim_{z\to -a}(z+a)\frac{e^{i z}}{(z-a)(z+a)} =\frac{e^{-i a}}{-2a} =-\frac{e^{-i a}}{2a}.

Passo 3

Para estudar z=\infty fazemos w=1/z. Então z=1/w e
dz=-\frac{dw}{w^{2}}.
Define-se g(w) por
f(z)\,dz=g(w)\,dw.
Temos
f\bigl(1/w\bigr) =\frac{e^{i/w}}{\tfrac1{w^{2}}-a^{2}} =\frac{w^{2}e^{i/w}}{1-a^{2}w^{2}},
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g(w) =f\bigl(1/w\bigr)\,dz =\frac{w^{2}e^{i/w}}{1-a^{2}w^{2}}\;\biggl(-\frac{dw}{w^{2}}\biggr) =-\frac{e^{i/w}}{1-a^{2}w^{2}}\,dw.
Como e^{i/w} tem infinita ordem de pólos em w=0, g(w) tem singularidade essencial em w=0. Assim f tem singularidade essencial em z=\infty.

Passo 4

O resíduo de f em z=\infty é o coeficiente de w^{-1} na expansão de g(w). Escrevendo
-\frac{1}{1-a^{2}w^{2}} =-\sum_{n=0}^{\infty}a^{2n}w^{2n}, \quad e^{i/w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{k}}{k!}\,w^{-k},
temos
g(w) =-\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{i^{k}}{k!}\,a^{2n}\,w^{-k+2n}.
O termo em w^{-1} ocorre quando -k+2n=-1, isto é k=2n+1. Então
\Res\bigl(f,\infty\bigr) =\text{coef}_{w^{-1}}\,g(w) =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{2n+1}a^{2n}}{(2n+1)!} =-\frac{i}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!} =-\frac{i\sin(a)}{a}.

Resposta

Em z=a: polo simples,
\Res\bigl(f,a\bigr)=\frac{e^{i a}}{2a}.
Em z=-a: polo simples,
\Res\bigl(f,-a\bigr)=-\frac{e^{-i a}}{2a}.
Em z=\infty: singularidade essencial,
\Res\bigl(f,\infty\bigr)=-\frac{i\sin(a)}{a}.

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