Prove que
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}
Sugestão: \operatorname{sen}^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2}\,dx
e provar que I=\pi/2. Vamos usar a sugestão
\operatorname{sen}^2 x = \frac12\bigl(1-\cos(2x)\bigr)
e um resultado padrão de integrais impróprias do tipo
\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(ax)}{x^2}\,dx.

Passo 2

Como o integrando \operatorname{sen}^2 x/x^2 é par, temos
I \;=\; 2\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2}\,dx.
Substituindo \operatorname{sen}^2 x=\tfrac12(1-\cos2x) dentro do integrando,
\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2} =\frac{1}{2}\,\frac{1-\cos2x}{x^2},
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I = 2\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}\,\frac{1-\cos2x}{x^2}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos2x}{x^2}\,dx.

Passo 3

Usamos o resultado clássico (que se obtém diferenciando em relação a a e usando \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\,dx=\pi/2 para a>0):
\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(ax)}{x^2}\,dx =\frac{\pi\,a}{2},\qquad a>0.
Aqui temos a=2, portanto
\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}\,dx =\frac{\pi\cdot 2}{2}=\pi.

Passo 4

Concluímos então
I =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos2x}{x^2}\,dx =\pi.

Resposta

O valor correto da integral é
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2}\,dx=\pi.
Portanto, a igualdade com \pi/2 só vale se os limites de integração forem de 0 a \infty. Nesse caso, de fato,
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2 x}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}.

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