Prove que
Sugestão:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e provar que
. Vamos usar a sugestão
e um resultado padrão de integrais impróprias do tipo
Passo 2
Como o integrando
é par, temos
Substituindo
dentro do integrando,
logo
Passo 3
Usamos o resultado clássico (que se obtém diferenciando em relação a
e usando
para
):
Aqui temos
, portanto
Passo 4
Concluímos então
Resposta
O valor correto da integral é
Portanto, a igualdade com
só vale se os limites de integração forem de
a
. Nesse caso, de fato,