Uma injeção de x \mathrm{mg} da droga A e y \mathrm{mg} da droga B causa uma resposta de R unidades, e R=x^{2} y^{3}(c-x-y), onde c é uma constante positiva. Que quantidade de cada droga causará a resposta máxima?
a. N.D.A.
b. \frac{1}{4} c \mathrm{mg} da droga \mathrm{A} e \frac{1}{2} c \mathrm{mg} da droga B
C. \frac{1}{2} c \mathrm{mg} da droga A e \frac{1}{2} c \mathrm{mg} da droga B
d. \frac{1}{4} c \mathrm{mg} da droga A e \frac{1}{8} c \mathrm{mg} da droga B
e. \frac{1}{2} c \mathrm{mg} da droga A e \frac{1}{3} c \mathrm{mg} da droga B

Passo 1

O enunciado dá a resposta
R(x,y)=x^{2}\,y^{3}\,(c - x - y)
em que x\ge0, y\ge0 e x+y\le c. Queremos achar os valores de x e y que maximizam R.

Passo 2

Para um máximo interior (com x>0 e y>0 e x+y<c) usamos as condições de primeira ordem impostas pelas derivadas parciais nulas. Em vez de derivar diretamente, é mais simples trabalhar com
\ln R = 2\ln x + 3\ln y + \ln(c-x-y),
pois as condições \partial R/\partial x=0 e \partial R/\partial y=0 viram condições lineares para x e y.

Passo 3

Cálculo de \partial(\ln R)/\partial x=0
\frac{2}{x} \;-\;\frac{1}{c-x-y}=0 \quad\Longrightarrow\quad c - x - y = \frac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2y = 2c.

Passo 4

Cálculo de \partial(\ln R)/\partial y=0
\frac{3}{y} \;-\;\frac{1}{c-x-y}=0 \quad\Longrightarrow\quad c - x - y = \frac{y}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3x + 4y = 3c.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3x + 2y = 2c,\\\\ 3x + 4y = 3c, \end{cases}
subtraindo a primeira equação da segunda vem
2y = c \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{c}{2},
e então
3x + 2\bigl(\tfrac{c}{2}\bigr) = 2c \quad\Longrightarrow\quad 3x = c \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{c}{3}.

Passo 6

O ponto crítico interior é \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{c}{3},\tfrac{c}{2}\bigr). Nenhuma das alternativas apresentadas dá \tfrac{c}{3} para x e \tfrac{c}{2} para y.

Resposta

a. N.D.A.

Exercícios relacionados