Considere a função f(z)=\frac{\ln (z)}{z-z_{0}}, para um ponto z_{0} cuja parte real é positiva. Considere apenas o argumento principal com n=0 do logaritmo.
(a) Escreva a série de Taylor de \ln (z) em torno de z_{0}.
(b) Escreva a série de Laurent f(z) em torno de z_{0}.
(c) Determine os raios do anel de convergência desta série.
(d) Determine o valor do resíduo de f(z) no ponto z_{0}.
Passo 1
O enunciado dá a função f(z)=\dfrac{\ln(z)}{z-z_{0}} e pede quatro coisas: (a) a série de Taylor de \ln(z) em torno de z_{0}; (b) a série de Laurent de f(z) em torno de z_{0}; (c) os raios (ou seja, o anel) de convergência dessa série de Laurent; (d) o valor do resíduo de f(z) em z_{0}. Informação importante fornecida: a parte real de z_{0} é positiva e usamos o argumento principal do logaritmo (ramificação com n=0), portanto \ln(z_{0}) está bem definido. Não vamos pedir nada mais — vamos direto ao passo a passo.
Passo 2
Vamos recordar um resultado-padrão que é a base da expansão: a série de Taylor de \ln(1+w) ao redor de w=0. Essa série pode ser obtida integrando a série geométrica. Primeiro,
Aqui cada termo está bem definido e a série converge para |w|<1. A razão da condição |w|<1 é que a série tem singularidade em w=-1 (que é o ponto mais próximo de w=0 onde \ln(1+w) deixa de ser analítica).
Passo 3
Agora escrevemos \ln(z) em torno de z_{0} escrevendo z como z=z_{0}+(z-z_{0}) e factorizando z_{0}:
Aplicando a série de \ln(1+w) com w=\dfrac{z-z_{0}}{z_{0}} (lembrando que isso exige \bigl|\dfrac{z-z_{0}}{z_{0}}\bigr|<1), obtemos a expansão de Taylor desejada. Escrevendo a série:
Expliquei o que cada símbolo significa: \ln(z_{0}) é o valor do logaritmo principal em z_{0}; a soma dá os termos de ordem 1,2,\dots em (z-z_{0}); a condição de convergência é |z-z_{0}|<|z_{0}| porque a série de \ln(1+w) tem raio 1 em w, e w=(z-z_{0})/z_{0}.
Passo 4
Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos da expansão (para você ver como fica na prática):
Isto é útil na prova: se você precisar apenas de alguns termos, é só truncar aqui.
Passo 5
Para obter a série de Laurent de f(z)=\dfrac{\ln(z)}{z-z_{0}} em torno de z_{0}, dividimos a expansão de \ln(z) por (z-z_{0}). Fazendo isso termo a termo:
Esta é uma série de Laurent porque contém o termo singular \dfrac{\ln(z_{0})}{z-z_{0}} (termo de ordem -1) e uma soma que é analítica em z_{0}. Mostro os primeiros termos explicitamente:
A série acima é válida sempre que a expansão de \ln(z) era válida (ou seja, para |z-z_{0}|<|z_{0}|), com a ressalva óbvia de que z\neq z_{0} (não podemos avaliar exatamente no polo).
Passo 6
Agora os raios do anel (o anel de convergência) da série de Laurent que encontramos. A série foi obtida a partir da série de \ln(1+w) com w=(z-z_{0})/z_{0}, cujo raio em w é 1 (singularidade em w=-1). Isso se traduz no plano z como condição
\bigl|z-z_{0}\bigr|<\bigl|z_{0}\bigr|.
Além disso, como há um polo em z=z_{0}, a expansão é válida apenas para z\neq z_{0}. Portanto o anel (punctured disk) de convergência é
0<\bigl|z-z_{0}\bigr|<\bigl|z_{0}\bigr|.
Expliquei o porquê: o limite externo é a distância de z_{0} até a singularidade mais próxima do numerador (que é o ponto z=0, a singularidade/ramificação do logaritmo), isto é |z_{0}|. O limite interno é zero porque o ponto z_{0} é o próprio centro e ali há a singularidade (polo simples), então só temos a disco ponturado.
Passo 7
Finalmente, o resíduo em z_{0} é o coeficiente do termo (z-z_{0})^{-1} na série de Laurent. Da expressão