Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
f(z)=\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}}\,)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a natureza das singularidades da função \displaystyle f(z)=\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}} e avaliar os resíduos. Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}}.
  • O denominador anula-se apenas em \displaystyle z=0; portanto qualquer singularidade isolada só pode ocorrer em \displaystyle z=0.
  • A função \displaystyle \operatorname{senh}(z) (ou \operatorname{sinh} z) é inteira (ou seja, é holomorfa em todo \mathbb{C}), então não existem singularidades vindas do numerador.
  • Perguntas a responder: (1) qual é a natureza da singularidade em \displaystyle z=0 (removível, polo de que ordem, ou essencial)? (2) qual é o resíduo em \displaystyle z=0? (Não há outras singularidades.)

Passo 2

Conceitos importantes (explicação didática e direta):
  • Uma singularidade isolada em \displaystyle z_0 pode ser classificada via série de Laurent em torno de \displaystyle z_0.
  • Se a parte principal (termos de potências negativas) é vazia, a singularidade é removível.
  • Se a parte principal tem um número finito de termos negativos, a singularidade é um polo; a maior potência negativa \displaystyle (z-z_0)^{-m} determina a ordem m do polo.
  • Se a parte principal tem infinitos termos negativos, é uma singularidade essencial.
  • O resíduo em \displaystyle z_0 é o coeficiente do termo \displaystyle (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent. Uma fórmula alternativa (útil para polos de ordem m) é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big].
Vou usar a expansão em série (Laurent/Maclaurin) porque é direta aqui.

Passo 3

Escrevendo a série de Taylor (Maclaurin) de \displaystyle \operatorname{senh}(z) em torno de \displaystyle 0. A série conhecida é
\operatorname{senh}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Os primeiros termos são
\operatorname{senh}(z)=z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\cdots
Aqui eu mostro por que: \operatorname{senh}(z)=(e^{z}-e^{-z})/2; ao expandir e^{z} e e^{-z} e subtrair, só restam potências ímpares e os coeficientes são \frac{1}{(2n+1)!}.

Passo 4

Agora divido essa série por \displaystyle z^{3} para obter a expansão de Laurent de f(z) em torno de \displaystyle z=0:
\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}}=\frac{z}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{3!z^{3}}+\frac{z^{5}}{5!z^{3}}+\cdots
ou seja
\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}}=\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{3!}+\frac{z^{2}}{5!}+\frac{z^{4}}{7!}+\cdots
Explicando passo a passo: cada termo \displaystyle \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} da série de \operatorname{senh}(z) ao ser dividido por \displaystyle z^{3} vira \displaystyle \frac{z^{2n-2}}{(2n+1)!}. Para n=0 obtemos \displaystyle z^{-2}, para n=1 obtemos termo constante \displaystyle 1/3!, para n\ge2 obtemos potências não-negativas de z.

Passo 5

Interpretação da série de Laurent encontrada:
  • A parte com potências negativas é apenas \displaystyle \frac{1}{z^{2}}; não existe termo \displaystyle \frac{1}{z}.
  • Como a parte principal (termos com potências negativas) é finita e o maior expoente negativo é \displaystyle -2, concluímos que a singularidade em \displaystyle z=0 é um polo de ordem 2.

Passo 6

Cálculo do resíduo pela definição (coeficiente do termo \displaystyle 1/z):
  • Na expansão
\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}}=\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{3!}+\frac{z^{2}}{5!}+\cdots,
não aparece termo \displaystyle \frac{1}{z}. Portanto o coeficiente de \displaystyle \frac{1}{z} é zero, isto é,
\operatorname{Res}\bigg(\frac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}},0\bigg)=0.

Passo 7

Verificação alternativa usando a fórmula do resíduo para polo de ordem m=2 (útil para prática em prova):
  • Para m=2,
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big[z^{2} f(z)\big].
  • Aqui z^{2}f(z)=\displaystyle \frac{\operatorname{senh}(z)}{z}. Portanto
\frac{d}{dz}\bigg(\frac{\operatorname{senh}(z)}{z}\bigg)=\frac{\operatorname{cosh}(z)\,z-\operatorname{senh}(z)}{z^{2}}.
  • Avaliando o limite z\to 0: usando séries, \operatorname{cosh}(z)=1+\frac{z^{2}}{2}+\cdots e \operatorname{senh}(z)=z+\frac{z^{3}}{6}+\cdots. O numerador é
(1+\tfrac{z^{2}}{2}+\cdots)z-(z+\tfrac{z^{3}}{6}+\cdots)=\big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}\big)z^{3}+\cdots=\tfrac{1}{3}z^{3}+\cdots,
logo a expressão inteira é \sim \tfrac{1}{3}z quando dividido por z^{2}, e portanto tende a 0 quando z\to 0. Assim a fórmula confirma \operatorname{Res}=0.

Resposta

Singularidade em \displaystyle z=0: polo de ordem 2.
\operatorname{Res}\big(\dfrac{\operatorname{senh}(z)}{z^{3}},0\big)=0.

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