Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a natureza das singularidades da função
e avaliar os resíduos. Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - O denominador anula-se apenas em
; portanto qualquer singularidade isolada só pode ocorrer em . - A função
(ou ) é inteira (ou seja, é holomorfa em todo ), então não existem singularidades vindas do numerador. - Perguntas a responder: (1) qual é a natureza da singularidade em
(removível, polo de que ordem, ou essencial)? (2) qual é o resíduo em ? (Não há outras singularidades.)
Passo 2
Conceitos importantes (explicação didática e direta):
- Uma singularidade isolada em
pode ser classificada via série de Laurent em torno de . - Se a parte principal (termos de potências negativas) é vazia, a singularidade é removível.
- Se a parte principal tem um número finito de termos negativos, a singularidade é um polo; a maior potência negativa
determina a ordem do polo. - Se a parte principal tem infinitos termos negativos, é uma singularidade essencial.
- O resíduo em
é o coeficiente do termo na expansão de Laurent. Uma fórmula alternativa (útil para polos de ordem ) é
Vou usar a expansão em série (Laurent/Maclaurin) porque é direta aqui.
Passo 3
Escrevendo a série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de
. A série conhecida é
Os primeiros termos são
Aqui eu mostro por que:
; ao expandir
e
e subtrair, só restam potências ímpares e os coeficientes são
.
Passo 4
Agora divido essa série por
para obter a expansão de Laurent de
em torno de
:
ou seja
Explicando passo a passo: cada termo
da série de
ao ser dividido por
vira
. Para
obtemos
, para
obtemos termo constante
, para
obtemos potências não-negativas de
.
Passo 5
Interpretação da série de Laurent encontrada:
- A parte com potências negativas é apenas
; não existe termo . - Como a parte principal (termos com potências negativas) é finita e o maior expoente negativo é
, concluímos que a singularidade em é um polo de ordem .
Passo 6
Cálculo do resíduo pela definição (coeficiente do termo
):
- Na expansão
não aparece termo
. Portanto o coeficiente de
é zero, isto é,
Passo 7
Verificação alternativa usando a fórmula do resíduo para polo de ordem
(útil para prática em prova):
- Para
,
- Aqui
. Portanto
- Avaliando o limite
: usando séries, e . O numerador é
logo a expressão inteira é
quando dividido por
, e portanto tende a
quando
. Assim a fórmula confirma
.
Resposta
Singularidade em
: polo de ordem
.
.