Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\operatorname{sen} \widehat{A}=2 \operatorname{sen} \widehat{B} \cos \widehat{C}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC (com A+B+C=180^\circ) e afirma que
\operatorname{sen} A \;=\; 2\,\operatorname{sen} B\,\cos C.
O conteúdo aqui é usar identidades trigonométricas para relacionar essas senos e cossenos e descobrir que restrição isso impõe às suas medidas de ângulo e, consequentemente, às suas propriedades (lados e classificação quanto aos ângulos).

Passo 2

Aplicamos a identidade de soma de ângulos para o produto 2\,\operatorname{sen} B\,\cos C:
2\,\operatorname{sen} B\,\cos C =\operatorname{sen}(B+C)+\operatorname{sen}(B-C).
Como no triângulo B+C=180^\circ -A, temos
\operatorname{sen}(B+C)=\operatorname{sen}\bigl(180^\circ -A\bigr)=\operatorname{sen} A.
Logo,
2\,\operatorname{sen} B\,\cos C =\operatorname{sen} A + \operatorname{sen}(B-C).
A condição \operatorname{sen} A =2\,\operatorname{sen} B\,\cos C passa a ser
\operatorname{sen} A = \operatorname{sen} A + \operatorname{sen}(B-C) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(B-C)=0.

Passo 3

Da equação \operatorname{sen}(B-C)=0 num triângulo, deduzimos
B-C=0 \quad\Longrightarrow\quad B=C.
Portanto o triângulo é isósceles, com os dois ângulos da base iguais B=C. Como lados opostos a B e C são AC e AB, segue que
AB = AC.

Passo 4

Para ver a classificação em acutângulo, retângulo ou obtusângulo, note que
A + B + C = 180^\circ \quad\text{e}\quad B=C \;\Longrightarrow\; A + 2B = 180^\circ \;\Longrightarrow\; A = 180^\circ - 2B.
  • Se B<45^\circ, então A>90^\circ e o triângulo é obtusângulo.
  • Se B=45^\circ, então A=90^\circ e é retângulo.
  • Se B>45^\circ, então A<90^\circ e é acutângulo.

Resposta

O triângulo é isósceles com AB = AC. Quanto à classificação pelos ângulos:
– obtusângulo se B<45^\circ,
– retângulo se B=45^\circ,
– acutângulo se B>45^\circ.

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