Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\operatorname{sen} \widehat{A}=\operatorname{sen} \widehat{B}+\operatorname{sen} \widehat{C}

Passo 1

O enunciado pede para achar o tipo de triângulo ABC em que
\sin A = \sin B + \sin C
onde A,B,C são os ângulos internos e satisfazem
A + B + C = \pi.
O conteúdo principal é usar a identidade de soma de senos e a soma dos ângulos de um triângulo.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin B + \sin C = 2\sin\bigl(\tfrac{B+C}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr).
Como B+C = \pi - A, temos
\sin B + \sin C = 2\sin\bigl(\tfrac{\pi - A}{2}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr) = 2\cos\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr).

Passo 3

Substituindo em \sin A = \sin B + \sin C, obtemos
\sin A = 2\cos\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr).
Mas \sin A = 2\sin(\tfrac{A}{2})\cos(\tfrac{A}{2}), logo
2\sin\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr) =2\cos\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr).

Passo 4

Para 0<A<\pi temos \cos(\tfrac{A}{2})>0, então podemos cancelar 2\cos(\tfrac{A}{2}) e fica
\sin\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr) =\cos\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr).
Isso implica \tfrac{A}{2} + \tfrac{B-C}{2} = \tfrac{\pi}{2} ou \tfrac{A}{2} - \tfrac{B-C}{2} = \tfrac{\pi}{2}.
Em cada caso, usando A+B+C=\pi, obtém-se que ou B=0 ou C=0, o que dá triângulo degenerado.

Resposta

Não existe triângulo não-degenerado (com A,B,C>0) satisfazendo \sin A=\sin B+\sin C.

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