No espaço vetorial V=M2(R), considere o produto interno dado no exercício 1, item (d). Calcule lang<= A, Brang<=,||A||,||B|| e d(A, B), onde ll1 & 1 0 & 1 e ll1 & 0 0 & 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto interno, as normas e a distância em V = M₂(ℝ) com o produto interno definido por
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B)
onde
A=1 & 10 & 1, B=1 & 00 & 0
Para isso, vamos usar a propriedade de que tr(A^T B) é a soma dos produtos correspondentes de entradas de A e B.

Passo 2

Calculando o produto interno:
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B) = 1cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 = 1

Passo 3

Calculando as normas:
||A|| = raizlang<= A,Arang<= = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz3,
||B|| = raizlang<= B,Brang<= = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 1

Passo 4

Calculando a distância:
Primeiro A - B = 0 & 10 & 1. Então
d(A,B) = ||A - B|| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2

Resposta

lang<= A,Brang<= = 1, ||A|| = raiz3, ||B|| = 1, d(A,B) = raiz2

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