Dado o produto interno lang<= u, vrang<= no espaço vetorial V, prove que
(a) u, v in V, para quaisquer |u+v|^2-|u-v|^2=4lang<= u, vrang<=.
(b) u, v in V, para quaisquer .

Passo 1

Temos em mãos o produto interno ⟨·,·⟩ em um espaço vetorial real V. Queremos provar duas identidades envolvendo normas definidas por ∥x∥² = ⟨x,x⟩, usando as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Pela definição de norma e pelas propriedades de produto interno, temos
|u+v|^2=lang<= u+v,u+vrang<= e |u-v|^2=lang<= u-v,u-vrang<=
Em cada caso, vamos aplicar linearidade na primeira componente e simetria para reorganizar ⟨u,v⟩.

Passo 3

Ao expandir, obtemos
|u+v|^2=lang<= u,urang<=+lang<= u,vrang<=+lang<= v,urang<=+lang<= v,vrang<= =|u|^2+2lang<= u,vrang<=+|v|^2,
|u-v|^2=lang<= u,urang<=-lang<= u,vrang<=-lang<= v,urang<=+lang<= v,vrang<= =|u|^2-2lang<= u,vrang<=+|v|^2

Passo 4

Somando as duas expressões cancelam-se os termos ±2⟨u,v⟩ e ficamos com
|u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2=2l(|u|^2+|v|^2r),
que prova a parte (a).

Passo 5

Subtraindo a segunda expressão da primeira, os termos ⟨u,u⟩ e ⟨v,v⟩ se cancelam e restam
|u+v|^2-|u-v|^2=4lang<= u,vrang<=,
o que estabelece a parte (b).

Resposta

|u+v|^2+|u-v|^2=2l(|u|^2+|v|^2) e |u+v|^2-|u-v|^2=4lang<= u,vrang<=.

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