Dado o produto interno
no espaço vetorial
, prove que
(a)
, para quaisquer
.
(b)
, para quaisquer
.
(a)
(b)
Passo 1
Temos em mãos o produto interno ⟨·,·⟩ em um espaço vetorial real V. Queremos provar duas identidades envolvendo normas definidas por ∥x∥² = ⟨x,x⟩, usando as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Pela definição de norma e pelas propriedades de produto interno, temos
Em cada caso, vamos aplicar linearidade na primeira componente e simetria para reorganizar ⟨u,v⟩.
Passo 3
Ao expandir, obtemos
Passo 4
Somando as duas expressões cancelam-se os termos ±2⟨u,v⟩ e ficamos com
que prova a parte (a).
Passo 5
Subtraindo a segunda expressão da primeira, os termos ⟨u,u⟩ e ⟨v,v⟩ se cancelam e restam
o que estabelece a parte (b).