Determine o núcleo (espaço nulo) das seguintes matrizes
D=[lll1 & 3 & 2 2 & 6 & 9 2 & 8 & 8]

Passo 1

O enunciado pede o núcleo (ou espaço nulo) da matriz
D = 1 & 3 & 2 2 & 6 & 9 2 & 8 & 8
Isso equivale a resolver o sistema linear homogêneo
D,x = 0,
ou seja, encontrar todos os vetores x=(x1,x2,x3)^T que satisfazem essas equações. Vamos usar eliminação de Gauss para determinar as condições sobre x1,x2,x3.

Passo 2

Escrevendo o sistema D,x=0 em forma de equações:
x1 + 3x2 + 2x3 = 0, 2x1 + 6x2 + 9x3 = 0, 2x1 + 8x2 + 8x3 = 0

Passo 3

Aplicamos operações elementares:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda:
(2x1+6x2+9x3)-2(x1+3x2+2x3) ;Rightarrow;5x3=0
  • Subtraímos 2 vezes a primeira equação da terceira:
(2x1+8x2+8x3)-2(x1+3x2+2x3) ;Rightarrow;2x2+4x3=0

Passo 4

Das equações reduzidas temos
5x3=0Rightarrow x3=0,
2x2+4x3=0Rightarrow 2x2+0=0;Rightarrow;x2=0
Substituindo em x1+3x2+2x3=0 vem
x1 + 3cdot0 + 2cdot0 = 0 ;Rightarrow;x1=0

Passo 5

O único vetor que satisfaz D,x=0 é o vetor nulo. Portanto o núcleo de D contém apenas a solução trivial.

Resposta

ker(D)=(0,0,0).

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