Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo.
Para as que forem isomorfismos, encontre a transformação inversa.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar o núcleo (
), a imagem (
), verificar se é isomorfismo e, se for, achar a inversa.
Passo 2
Para achar
Da segunda equação vem implica
. A variável
fica livre. Logo
Passo 3
Para achar
, note que
Logo
Os vetores
e
são linearmente independentes em
, então
Passo 4
Pela dimensão do núcleo temos
, então
não é injetora. Mesmo sendo sobrejetora (
), a falta de injetividade impede que
seja isomorfismo. Consequentemente, não existe transformação inversa.