Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo.
Para as que forem isomorfismos, encontre a transformação inversa.
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 z, z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z)=(x+2z,;z)
Queremos encontrar o núcleo ( ker T), a imagem ( ImT), verificar se é isomorfismo e, se for, achar a inversa.

Passo 2

Para achar
Da segunda equação vem implica . A variável fica livre. Logo

Passo 3

Para achar ImT, note que
T(x,y,z) = x,(1,0) + y,(0,0) + z,(2,1)
Logo
ImT = span(1,0),,(2,1)
Os vetores (1,0) e (2,1) são linearmente independentes em R^2, então
ImT = R^2

Passo 4

Pela dimensão do núcleo temos dimker T=1neq0, então T não é injetora. Mesmo sendo sobrejetora ( ImT=R^2), a falta de injetividade impede que T seja isomorfismo. Consequentemente, não existe transformação inversa.

Resposta

ker T = (0,y,0)mid yinR = span(0,1,0)
ImT = R^2
T não é isomorfismo, logo não possui inversa.

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