Determine o núcleo e a imagem do operador linear definido em
T(x, y)=(x+y, x-y, 2 x-y) de R^2 em R^3.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x+y,;x-y,;2x-y,)
Queremos encontrar o núcleo ( ker T) e a imagem ( Im T). Para isso usaremos o fato de que ker T é a solução do sistema homogêneo T(x,y)=(0,0,0) e Im T é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T.

Passo 2

Para achar
Das duas primeiras equações somamos
Então (y=0] pela primeira equação. Verificamos que a terceira também fica satisfeita. Logo

Passo 3

A matriz de em relação às bases canônicas é
cujas colunas são
e . Assim
Como e não são múltiplos um do outro, .

Resposta

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