Quais são as coordenadas de (2,4,-1) em relação à base beta ?
Sejam as coordenadas (x, y, z) tais que:
x(1,2,0)+y(2,1,0)+z(0,0,1)=(2,4,-1)
Expandindo, obtemos:
(x+2 y, 2 x+y, z)=(2,4,-1)
Isso resulta no sistema:
l x+2 y=2, 2 x+y=4, z=-1 x=2-2 y

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (2,4,-1) como combinação linear da base
beta = (1,2,0),,(2,1,0),,(0,0,1).
Ou seja, queremos encontrar escalares x,y,z tais que
x,(1,2,0)+y,(2,1,0)+z,(0,0,1)=(2,4,-1)

Passo 2

Ao fazer a soma coordenada a coordenada, obtemos
(x+2y,;2x+y,;z)=(2,4,-1)
Isso gera o sistema de três equações:
x+2y = 2, 2x+y = 4, z = -1

Passo 3

Da primeira equação isolamos x:
x = 2 - 2y
Substituímos esse x na segunda equação:
2(2-2y) + y = 4 Longrightarrow 4 - 4y + y = 4 Longrightarrow -3y = 0 Longrightarrow y = 0

Passo 4

Com y=0, voltamos em x = 2 - 2y para obter
x = 2 - 2cdot0 = 2,
e da terceira equação já temos
z = -1

Resposta

As coordenadas de (2,4,-1) na base beta são
(x,y,z) = (2,0,-1)

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