Seja T: R^3 R^2, com T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z). Considere as bases
A=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) e B=(2,1),(5,3)
do R^3 e do R^2, respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^3toR^2 definida por
T(x,y,z)=(2x - y + z,;3x + y - 2z)
e as bases
A=(1,1,1),;(0,1,1),;(0,0,1)em R^3
e
B=(2,1),;(5,3)em R^2
Queremos a matriz de T relativa a A e B. Para isso, calculamos T em cada vetor de A e depois expressamos o resultado em B.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores de A:
a1=(1,1,1);Rightarrow;T(a1)=(2cdot1-1+1,;3cdot1+1-2cdot1)=(2,2),
a2=(0,1,1);Rightarrow;T(a2)=(2cdot0-1+1,;3cdot0+1-2cdot1)=(0,-1),
a3=(0,0,1);Rightarrow;T(a3)=(2cdot0-0+1,;3cdot0+0-2cdot1)=(1,-2)

Passo 3

Para cada w=T(ai)=(w1,w2), escrevemos
w = alpha,b1 + beta,b2, b1=(2,1),;b2=(5,3),
ou seja, resolvemos o sistema
2alpha + 5beta = w1,
alpha + 3beta = w2
Fazendo isso para cada imagem:
  • Para T(a1)=(2,2) obtemos alpha1=-4, beta1=2.
  • Para T(a2)=(0,-1) obtemos alpha2=5, beta2=-2.
  • Para T(a3)=(1,-2) obtemos alpha3=13, beta3=-5.

Passo 4

As colunas da matriz [T]B,A são os vetores (alphai,betai). Assim,
[T]B,A = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5

Resposta

[T]B,A = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5

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