Considere o plano pi: a x+b y+c z=0.
Determine o núcleo e a imagem da reflexão em relação ao plano pi, Rpi. Responda se Rpi é sobrejetiva e se é injetiva.

Passo 1

O enunciado define a reflexão RpicolonR^3toR^3 em relação ao plano
pi:;a x+b y+c z=0
que passa pela origem. O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares: queremos achar
  1. o núcleo ker Rpi;
  2. a imagem ImRpi;
    e decidir se Rpi é injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Para descrever Rpi em coordenadas, note que pi tem vetor normal n=(a,b,c). A reflexão de um vetor v em pi é dada por
Rpi(v) =v-2,vcdotnncdotn,n
Essa fórmula mostra que Rpi é combinação linear de v e n, logo Rpi é de fato uma transformação linear em R^3.

Passo 3

O núcleo ker Rpi são todos os v tais que Rpi(v)=0. Da fórmula, isso dá
v-2,vcdotnncdotn,n=0 ;Longrightarrow; v =2,vcdotnncdotn,n,
ou seja, v é paralelo a n. Escrevendo v=kn, a condição fica
kn =2,k,ncdotnncdotn,n =2k,n ;Longrightarrow; k=2k ;Longrightarrow; k=0
Logo o único vetor do núcleo é o vetor nulo.

Passo 4

A imagem ImRpi é o subespaço gerado pelos valores Rpi(v). Mas como Rpi é reflexão (involução) e linear, para todo winR^3 basta tomar v=Rpi(w) para obter Rpi(v)=w. Logo toda R^3 aparece como imagem.

Passo 5

Uma transformação linear é injetiva se e somente se ker Rpi=0. Encontramos isso, então Rpi é injetiva. É sobrejetiva porque ImRpi=R^3. Portanto Rpi é bijetiva.

Resposta

ker Rpi=0, ImRpi=R^3,
e Rpi é injetiva e sobrejetiva (logo bijetiva).

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