Considere o plano
.
Determine o núcleo e a imagem da reflexão em relação ao plano
. Responda se
é sobrejetiva e se é injetiva.
Determine o núcleo e a imagem da reflexão em relação ao plano
Passo 1
O enunciado define a reflexão
em relação ao plano
que passa pela origem. O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares: queremos achar
- o núcleo
; - a imagem
;
e decidir seé injetiva e sobrejetiva.
Passo 2
Para descrever
em coordenadas, note que
tem vetor normal
. A reflexão de um vetor
em
é dada por
Essa fórmula mostra que
é combinação linear de
e
, logo
é de fato uma transformação linear em
.
Passo 3
O núcleo
são todos os
tais que
. Da fórmula, isso dá
ou seja,
é paralelo a
. Escrevendo
, a condição fica
Logo o único vetor do núcleo é o vetor nulo.
Passo 4
A imagem
é o subespaço gerado pelos valores
. Mas como
é reflexão (involução) e linear, para todo
basta tomar
para obter
. Logo toda
aparece como imagem.
Passo 5
Uma transformação linear é injetiva se e somente se
. Encontramos isso, então
é injetiva. É sobrejetiva porque
. Portanto
é bijetiva.
Resposta
e