Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(ii) T: R^4 R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, z-w)

Passo 1

Estamos com a transformação linear
Tcolon R^4 to R^3, T(x,y,z,w) = (,x - w,;y - w,;z - w,)
O que precisamos é (i) o núcleo de T, isto é
ker(T) = (x,y,z,w)inR^4 mid T(x,y,z,w) = (0,0,0),
e (ii) a imagem de T, isto é
Im(T) = T(v)mid vinR^4

Passo 2

Para achar
Isso gera o sistema
Logo
e (w] é livre.

Passo 3

Logo qualquer vetor no núcleo é da forma
(x,y,z,w) = (w,w,w,w) = w,(1,1,1,1) com winR
Portanto
ker(T) = ,w,(1,1,1,1)mid winR = span(1,1,1,1)

Passo 4

Para determinar Im(T), observe as imagens dos vetores da base canônica de R^4:
T(e1) = (1,0,0), T(e2) = (0,1,0), T(e3) = (0,0,1), T(e4) = (-1,-1,-1)
Os três primeiros já formam uma base de R^3, logo eles geram todo o R^3.

Passo 5

Como Im(T) contém (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), temos
Im(T) = R^3,
e o posto de T é 3.

Resposta

ker(T)=span(1,1,1,1), Im(T)=R^3.

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