Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(iii)
.
(iii)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
definida por
Precisamos encontrar
e
. Para isso, vamos escrever
em coordenadas na base canônica e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Escolhendo como base de
o conjunto
, identificamos
Em seguida,
fica dada por
Passo 3
Para achar
Das duas primeiras equações vem . Substituindo na terceira:
logo
e
. Portanto
Passo 4
A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas de
. Como
as três colunas são linearmente independentes. Logo