Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(iii) T: P(2, R) R^3, T(a x^2+b x+c)=(a+b, a+c, a=b=c).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:P2(R)toR^3
definida por
Tl(a x^2+b x+cr)=(,a+b,;a+c,;a+b+c,)
Precisamos encontrar ker T e Im,T. Para isso, vamos escrever T em coordenadas na base canônica e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Escolhendo como base de o conjunto , identificamos
Em seguida, fica dada por

Passo 3

Para achar
Das duas primeiras equações vem . Substituindo na terceira:
logo e . Portanto

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de M. Como
det M =1cdotdet0&11&1 -1cdotdet1&11&1 =-1neq0,
as três colunas são linearmente independentes. Logo
Im,T=R^3

Resposta

ker T=0
Im,T=R^3

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