Seja
Definamos:
e
. Com estas operações mostre que
é um espaço vetorial real.
Definamos:
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações usuais de soma de vetores
e de multiplicação por escalar
O conteúdo da matéria é “espaço vetorial sobre
”. Para provar que
é um espaço vetorial real, precisamos verificar que
-
é um grupo abeliano; - a multiplicação por escalar satisfaz os axiomas de compatibilidade: fechamento, distributividade, associatividade e elemento neutro.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
, então . - Comutatividade:
- Associatividade: para
, e mostrando que a soma é associativa.
Passo 3
Existem elemento neutro e inversos aditivos em
:
- Neutro aditivo:
, pois - Inverso aditivo: para
o inverso é , pois
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: se
e
, então
Passo 5
Distributividade da multiplicação escalar:
- Em relação à soma de vetores, para
e : - Em relação à soma de escalares, para
e :
Passo 6
Compatibilidade escalar e elemento neutro do campo:
- Associatividade escalar, para
e : - Elemento neutro do corpo
:
Resposta
Como todos os axiomas de grupo abeliano sob soma e de multiplicação por escalar são satisfeitos, concluímos que
é um espaço vetorial real.