Seja V=R^2
Definamos: (x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e c(x, y)=(c x, c y) com c in R. Com estas operações mostre que V é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define o conjunto V = R^2 com as operações usuais de soma de vetores
(x,y) + (x',y') = (x+x',,y+y')
e de multiplicação por escalar
c,(x,y) = (c,x,,c,y), cinR
O conteúdo da matéria é “espaço vetorial sobre R”. Para provar que V é um espaço vetorial real, precisamos verificar que
  1. (V,+) é um grupo abeliano;
  2. a multiplicação por escalar satisfaz os axiomas de compatibilidade: fechamento, distributividade, associatividade e elemento neutro.

Passo 2

Verificamos que (V,+) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: se (x,y),(x',y')inR^2, então (x+x',y+y')inR^2.
  • Comutatividade: (x,y)+(x',y') = (x+x',y+y') = (x'+x,,y'+y) = (x',y')+(x,y)
  • Associatividade: para (x,y),(x',y'),(x'',y'')inR^2, l((x,y)+(x',y')r)+(x'',y'') = (x+x',y+y')+(x'',y'') = (x+x'+x'',,y+y'+y'') e (x,y)+l((x',y')+(x'',y'')r) = (x,y)+(x'+x'',y'+y'') = (x+x'+x'',,y+y'+y''), mostrando que a soma é associativa.

Passo 3

Existem elemento neutro e inversos aditivos em V:
  • Neutro aditivo: (0,0), pois (x,y)+(0,0) = (x+0,y+0) = (x,y)
  • Inverso aditivo: para (x,y) o inverso é (-x,-y), pois (x,y)+(-x,-y) = (x-x,y-y) = (0,0)

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: se cinR e (x,y)inR^2, então
c,(x,y) = (c,x,c,y)inR^2

Passo 5

Distributividade da multiplicação escalar:
  • Em relação à soma de vetores, para alphainR e (x,y),(x',y')in V: alphal((x,y)+(x',y')r) = alpha,(x+x',,y+y') = (alpha x+alpha x',,alpha y+alpha y') = alpha(x,y)+alpha(x',y')
  • Em relação à soma de escalares, para alpha,betainR e (x,y)in V: (alpha+beta)(x,y) = ((alpha+beta)x,,(alpha+beta)y) = (alpha x+beta x,,alpha y+beta y) = alpha(x,y)+beta(x,y)

Passo 6

Compatibilidade escalar e elemento neutro do campo:
  • Associatividade escalar, para alpha,betainR e (x,y)in V: alphal(beta(x,y)r) = alpha(beta x,beta y) = (alphabeta,x,alphabeta,y) = (alphabeta)(x,y)
  • Elemento neutro do corpo R: 1,(x,y) = (1cdot x,,1cdot y) = (x,y)

Resposta

Como todos os axiomas de grupo abeliano sob soma e de multiplicação por escalar são satisfeitos, concluímos que R^2 é um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados