Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
T: C(-\infty,+\infty) \rightarrow C^{1}(-\infty,+\infty), \quad T(f)=\int_{0}^{x} f(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação T\colon C(-\infty,+\infty)\to C^1(-\infty,+\infty) definida por
T(f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt
é uma transformação linear. Para isso vamos usar o critério de linearidade:
  1. aditividade: T(f+g)=T(f)+T(g).
  2. homogeneidade: T(\alpha f)=\alpha\,T(f).

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomando f,g\in C(-\infty,+\infty),
T(f+g)(x) =\int_{0}^{x}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}f(t)\,dt+\int_{0}^{x}g(t)\,dt =T(f)(x)+T(g)(x).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para escalar \alpha\in\mathbb{R} e f\in C(-\infty,+\infty),
T(\alpha f)(x) =\int_{0}^{x}\alpha\,f(t)\,dt =\alpha\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\alpha\,T(f)(x).

Resposta

A transformação T é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade.

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