Seja T: V \rightarrow W uma transformação linear. Mostre que, para todo v \in V, T(-v)=-T v.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon V\to W e pede para mostrar que, para todo v\in V, vale
T(-v) = -\,T(v).
O conteúdo principal é a definição de transformação linear, em especial a propriedade de preservação de multiplicação por escalar.

Passo 2

Pela definição de transformação linear, para todo escalar c e todo vetor v\in V temos
T(c\,v) \;=\; c\,T(v).
Vamos aplicar essa propriedade ao caso c=-1.

Passo 3

Como -v é exatamente (-1)\,v, pela linearidade
T(-v) \;=\; T\bigl((-1)\,v\bigr) \;=\; (-1)\,T(v) \;=\; -\,T(v).

Resposta

Para todo v\in V, T(-v) = -\,T(v).

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