Determine o núcleo e a imagem da transformação linear
dada por
(derivada de um polinômio). Encontre uma base de
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a transformação linear
definida por
O conteúdo aqui é derivação de polinômios. Precisamos usar a definição de núcleo
e a caracterização da imagem como o conjunto de todos os polinômios obtidos como derivada de algum .
e a caracterização da imagem como o conjunto de todos os polinômios obtidos como derivada de algum
Passo 2
Para achar
, resolvemos
A condição
implica que
é constante, pois a única família de polinômios cuja derivada identicamente nula são as constantes.
Passo 3
Concluímos que
Esse espaço é de dimensão 1 e uma base natural é
Passo 4
Para determinar
, note que toda derivada de polinômio de grau até 3 tem grau até 2, ou seja,
Por outro lado, dado qualquer
podemos escolher
e então
Logo
.
Passo 5
Como
é de dimensão 3, uma base usual é
Portanto, uma base para
é
.
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de