Determine o núcleo e a imagem da transformação linear T: P3 longrightarrow P2 dada por T(p(x))=p^prime(x) (derivada de um polinômio). Encontre uma base de N(T) e Im(T).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear Tcolon P3 to P2 definida por
T(p(x))=p'(x)
O conteúdo aqui é derivação de polinômios. Precisamos usar a definição de núcleo
ker(T)=pin P3mid T(p)=0
e a caracterização da imagem como o conjunto de todos os polinômios obtidos como derivada de algum pin P3.

Passo 2

Para achar ker(T), resolvemos
T(p)=0;Longrightarrow;p'(x)=0para todo x
A condição p'(x)=0 implica que p(x) é constante, pois a única família de polinômios cuja derivada identicamente nula são as constantes.

Passo 3

Concluímos que
ker(T)=,p(x)=Cmid Cin R
Esse espaço é de dimensão 1 e uma base natural é
,1

Passo 4

Para determinar Im(T), note que toda derivada de polinômio de grau até 3 tem grau até 2, ou seja,
Im(T)subseteq P2
Por outro lado, dado qualquer
q(x)=ax^2+bx+cin P2
podemos escolher
p(x)=tfraca3x^3+tfracb2x^2+cxin P3
e então
p'(x)=ax^2+bx+c=q(x)
Logo Im(T)= P2.

Passo 5

Como P2 é de dimensão 3, uma base usual é
,1,;x,;x^2
Portanto, uma base para Im(T) é 1,x,x^2.

Resposta

Base de ker(T): 1
Base de Im(T): 1,x,x^2

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