3^ a ) Seja U=[t^3+4 t^2-t+3, t^3+5 t^2+5,3 t^3] e W=[t^3+4 t^2, t-1,1] subespaços de P3(R) encontre geradores para U cap W e U+W. E conclua se a soma U+W é direta ou não.

Passo 1

O enunciado pede, em P3( R), para os subespaços
U=lang<=,u1,u2,u3rang<=, u1=t^3+4t^2-t+3,;u2=t^3+5t^2+5,;u3=3t^3,
W=lang<=,w1,w2,w3rang<=, w1=t^3+4t^2,;w2=t-1,;w3=1,
encontrar geradores de Ucap W e de U+W e decidir se a soma é direta. Vamos usar coordenadas na base t^3,t^2,t,1, resolver o sistema que caracteriza a interseção e depois aplicar a fórmula de Grassmann.

Passo 2

Escrevendo um polinômio genérico p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d em cada espaço:
– Em U existem alpha,beta,gamma tais que
p=alpha,u1+beta,u2+gamma,u3 Longrightarrow l[a,b,c,dr] =l[alpha+beta+3gamma,;4alpha+5beta,;-,alpha,;3alpha+5betar]
– Em W existem lambda,mu,nu tais que
p=lambda,w1+mu,w2+nu,w3 Longrightarrow l[a,b,c,dr] =l[lambda,;4lambda,;mu,;-,mu+nur]

Passo 3

Para pin Ucap W igualamos as duas escritas, obtendo o sistema
alpha+beta+3gamma=lambda, 4alpha+5beta=4lambda, -,alpha=mu, 3alpha+5beta=-mu+nu
Dessa quarta equações seguem
mu=-alpha,
;4alpha+5beta=4(alpha+beta+3gamma)impliesbeta=12gamma,
lambda=alpha+15gamma,
nu=2alpha+60gamma.
Logo os graus de liberdade são alpha e gamma, e
p(alpha,gamma) =(alpha+15gamma)t^3+(4alpha+60gamma)t^2-alpha,t+(3alpha+60gamma)

Passo 4

Tomando (alpha,gamma)=(1,0) e (0,1) obtemos dois geradores independentes de Ucap W:
p1=t^3+4t^2-t+3, p2=15,t^3+60,t^2+60,
ou, simplificando p2/15, podemos usar
,t^3+4t^2-t+3,;t^3+4t^2+4
como base de Ucap W. Portanto dim(Ucap W)=2.

Passo 5

Pela fórmula de Grassmann
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=3+3-2=4=dim P3,
logo U+W= P3( R). Um conjunto de geradores para U+W é a base canônica
,t^3,,t^2,,t,,1

Resposta

Geradores de Ucap W:
,t^3+4t^2-t+3,;t^3+4t^2+4
Geradores de U+W:
,t^3,,t^2,,t,,1
A soma U+W não é direta, pois Ucap Wneq0.

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