) Seja
e
subespaços de
encontre geradores para
e
. E conclua se a soma
é direta ou não.
Passo 1
O enunciado pede, em
, para os subespaços
encontrar geradores de
e de
e decidir se a soma é direta. Vamos usar coordenadas na base
, resolver o sistema que caracteriza a interseção e depois aplicar a fórmula de Grassmann.
Passo 2
Escrevendo um polinômio genérico
em cada espaço:
– Em existem
tais que
– Em
– Em
existem
tais que
Passo 3
Para
igualamos as duas escritas, obtendo o sistema
Dessa quarta equações seguem
,
,
,
.
Logo os graus de liberdade são e
, e
Logo os graus de liberdade são
Passo 4
Tomando
e
obtemos dois geradores independentes de
:
ou, simplificando
, podemos usar
como base de
. Portanto
.
Passo 5
Pela fórmula de Grassmann
logo
. Um conjunto de geradores para
é a base canônica
Resposta
Geradores de
:
Geradores de
:
A soma
não é direta, pois
.