Seja
o conjunto de todos os números reals, ou seja,
. Determine se
é um espaço vetorial com as operaçöes mostradas abaixo:
. Verifique cada axioma de espaço vetorial; para os axiomas que nåo forem válidos (caso ocorram) identifique-os a partir de um contraexemplo. (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissőes implicarão em desconto da pontuação da questão. 2,0 ptos).
A1 - Comutativa
A2-Associativa
A3 - Elemento Neutro
A4 - Oposto
e
Passo 1
O enunciado define
com as operações
e pergunta se isso faz de
um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos verificar os axiomas: primeiro os do grupo abeliano
(comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) e depois os da multiplicação escalar (identidade, compatibilidade e distributividades).
Passo 2
Verificação do grupo abeliano
:
- Fechamento: para
, . - Comutatividade:
- Associatividade:
Logo
.
Passo 3
Elemento neutro e inverso aditivo em
:
- Buscamos
tal que . Verificação também em : . - Para cada
existe tal que :
Portanto
é grupo abeliano.
Passo 4
Verificação dos axiomas da multiplicação escalar que valem:
- Fechamento:
. - Identidade:
- Compatibilidade de escalares:
Passo 5
Distributividade em relação à soma de vetores (axioma que falha):
Desejamos
.
Calculamos
Desejamos
Calculamos
enquanto
Em geral
implica
.
Contraexemplo numérico: escolha e
.
Contraexemplo numérico: escolha
logo
. Portanto falha a distributividade
.
Passo 6
Distributividade em relação à soma de escalares (outro axioma que falha):
Desejamos
.
Desejamos
Em geral
.
Contraexemplo: .
Contraexemplo:
logo
.