Seja vee o conjunto de todos os números reals, ou seja, V=R. Determine se V é um espaço vetorial com as operaçöes mostradas abaixo: lx+y=x+y+1 alpha x=alphax. Verifique cada axioma de espaço vetorial; para os axiomas que nåo forem válidos (caso ocorram) identifique-os a partir de um contraexemplo. (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissőes implicarão em desconto da pontuação da questão. 2,0 ptos).
A1 - Comutativa (u, v in V u+v=v+u)
A2-Associativa (u, v, w in V u+(v+w)=(u+v)+w)
A3 - Elemento Neutro (exists 0 in V u+0=u)
A4 - Oposto (exists-u in V u+(-u)=0)
(u, v in V e alpha in R alpha(u)

Passo 1

O enunciado define V=R com as operações
xoplus y = x + y + 1,
alphaodot x = alpha,x
e pergunta se isso faz de V um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos verificar os axiomas: primeiro os do grupo abeliano (V,oplus) (comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) e depois os da multiplicação escalar (identidade, compatibilidade e distributividades).

Passo 2

Verificação do grupo abeliano (V,oplus):
  • Fechamento: para x,yinR, xoplus y = x+y+1inR.
  • Comutatividade: xoplus y = x+y+1 = y+x+1 = yoplus x
  • Associatividade: xoplus (yoplus z) = xoplus(y+z+1) = x + (y+z+1) +1 = x+y+z+2,
(xoplus y)oplus z = (x+y+1)oplus z = (x+y+1)+z+1 = x+y+z+2
Logo xoplus(yoplus z)=(xoplus y)oplus z.

Passo 3

Elemento neutro e inverso aditivo em (V,oplus):
  • Buscamos e tal que xoplus e = x. x+e+1 = x ;Longrightarrow; e = -1 Verificação também em eoplus x: (-1)+x+1 = x.
  • Para cada x existe tilde x tal que xoplus tilde x = e=-1: x + tilde x + 1 = -1 ;Longrightarrow; tilde x = -x -2
Portanto (V,oplus) é grupo abeliano.

Passo 4

Verificação dos axiomas da multiplicação escalar que valem:
  • Fechamento: alphaodot x = alpha x inR.
  • Identidade: 1odot x = 1cdot x = x
  • Compatibilidade de escalares: alphaodot(betaodot x) = alphacdot(beta x) = (alphabeta),x = (alphabeta)odot x

Passo 5

Distributividade em relação à soma de vetores (axioma que falha):
Desejamos
alphaodot(xoplus y)stackrel?=alphaodot x;oplus;alphaodot y.
Calculamos
alphaodot(xoplus y) = alphal(x+y+1r) = alpha x + alpha y + alpha,
enquanto
alphaodot x ;oplus;alphaodot y = (alpha x)oplus(alpha y) = alpha x + alpha y +1
Em geral alphaneq1 implica
alpha x+alpha y+alpha neq alpha x+alpha y+1.
Contraexemplo numérico: escolha x=y=0 e alpha=2.
LHS=2odot(0oplus0)=2odot1=2, RHS=(2odot0)oplus(2odot0)=0oplus0=1,
logo 2neq1. Portanto falha a distributividade alpha(xoplus y)=alpha xoplusalpha y.

Passo 6

Distributividade em relação à soma de escalares (outro axioma que falha):
Desejamos
(alpha+beta)odot xstackrel?=alphaodot x;oplus;betaodot x.
(alpha+beta)odot x = (alpha+beta)x,
alphaodot x;oplus;betaodot x = (alpha x)oplus(beta x) = alpha x + beta x +1
Em geral (alpha+beta)xneq alpha x+beta x+1.
Contraexemplo: x=0,;alpha=beta=1.
LHS=(1+1)odot0=2cdot0=0, RHS=1odot0oplus1odot0=0oplus0=1,
logo 0neq1.

Resposta

V não é espaço vetorial, pois falham os axiomas de distributividade
alpha(xoplus y)=alpha xoplusalpha y e (alpha+beta)odot x=alphaodot xoplusbetaodot x.

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