Quais das transformações abaixo são lineares?
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\,,\;T(x,y)=(x+y,\;x-y)\, é linear.
Informações dadas: domínio \mathbb{R}^2, contradomínio \mathbb{R}^2 e a fórmula explícita de T que envia o par (x,y) para o par (x+y,\;x-y).
Objetivo claro: decidir (sim/não) se T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar (propriedades de linearidade).

Passo 2

Definição de transformação linear (explicação didática):
Dizemos que T é linear se, para quaisquer vetores \,u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \,c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades significam, em palavras, que T “respeita” soma e multiplicação por escalar. Uma forma equivalente e compacta é: para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v,
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
Vou checar as propriedades de aditividade e homogeneidade passo a passo.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v). Seja
u=(x_1,y_1),\qquad v=(x_2,y_2).
Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao vetor soma:
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)-(y_1+y_2)\big).
Agrupando termos:
T(u+v)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (x_1-y_1)+(x_2-y_2)\big).
Agora observe que isso é exatamente a soma dos vetores T(u) e T(v), pois
T(u)=(x_1+y_1,\;x_1-y_1),\qquad T(v)=(x_2+y_2,\;x_2-y_2),
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T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u). Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
cu=(c x,\;c y).
Aplicando T:
T(cu)=T(c x,\;c y)=\big(c x + c y,\; c x - c y\big).
Fatorando c em cada coordenada:
T(cu)=c\big(x+y,\;x-y\big)=c\,T(x,y)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale para todo escalar c.

Passo 5

Checagens rápidas adicionais e interpretação matricial (ajuda a entender na prova):
  • Verifique o vetor nulo: \,T(0,0)=(0+0,0-0)=(0,0), ou seja, T manda o vetor zero no vetor zero — comportamento obrigatório para transformações lineares.
  • Representação por matriz: T corresponde à multiplicação por
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot x + 1\cdot y\\[4pt] 1\cdot x + (-1)\cdot y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x+y\\[4pt] x-y\end{pmatrix}=T(x,y).
Essa escrita mostra de forma direta que T é linear (toda multiplicação por matriz é uma transformação linear). Como comentário extra: \det A = (1)(-1)-(1)(1)=-2\neq 0, então A é invertível e T é um isomorfismo linear (tem inversa linear), mas isso é só um extra para contexto.]

Passo 6

Conclusão: verificamos explicitamente as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) e também exibimos a matriz que representa T. Portanto T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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