Quais das transformações abaixo são lineares?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear.
Informações dadas: domínio , contradomínio
e a fórmula explícita de
que envia o par
para o par
.
Objetivo claro: decidir (sim/não) se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar (propriedades de linearidade).
Informações dadas: domínio
Objetivo claro: decidir (sim/não) se
Passo 2
Definição de transformação linear (explicação didática):
Dizemos que é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Dizemos que
e
Essas duas propriedades significam, em palavras, que
“respeita” soma e multiplicação por escalar. Uma forma equivalente e compacta é: para quaisquer escalares
e vetores
,
Vou checar as propriedades de aditividade e homogeneidade passo a passo.
Passo 3
Verificação da aditividade
. Seja
Então
Aplicando
ao vetor soma:
Agrupando termos:
Agora observe que isso é exatamente a soma dos vetores
e
, pois
logo
Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificação da homogeneidade
. Seja
e
. Então
Aplicando
:
Fatorando
em cada coordenada:
Portanto a homogeneidade também vale para todo escalar
.
Passo 5
Checagens rápidas adicionais e interpretação matricial (ajuda a entender na prova):
- Verifique o vetor nulo:
, ou seja, manda o vetor zero no vetor zero — comportamento obrigatório para transformações lineares. - Representação por matriz:
corresponde à multiplicação por
pois
Essa escrita mostra de forma direta que
é linear (toda multiplicação por matriz é uma transformação linear). Como comentário extra:
, então
é invertível e
é um isomorfismo linear (tem inversa linear), mas isso é só um extra para contexto.]
Passo 6
Conclusão: verificamos explicitamente as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) e também exibimos a matriz que representa
. Portanto
é uma transformação linear.