(*) Determine o número de anagramas:
(a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
(b) Existentes na palavra FUNÇÃO que iniciam com F e terminam com O .
(c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde que as vogais A e O apareçam juntas nessa ordem (ÃO).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre anagramas da palavra FUNÇÃO:
(a) o número total de anagramas da palavra FUNÇÃO;
(b) o número de anagramas da palavra FUNÇÃO que começam com F e terminam com O;
(c) o número de anagramas da palavra FUNÇÃO em que as vogais A e O aparecem juntas e nessa ordem (\text{ÃO})Ã.
Informações dadas e observações importantes (tudo que vem do enunciado):
  • A palavra é “FUNÇÃO”. Vou representar as letras explicitamente em TeX como F,\;U,\;N,\;\c{C},\;\~{A},\;O.
  • São 6 letras no total e todas são distintas (cada símbolo conta como uma letra diferente).
  • Vogais presentes (na palavra) são U,\;\~{A},\;O. O enunciado pede que A e O apareçam juntas na ordem \text{ÃO}Ã; aqui vou interpretar isso como o par \~{A}O (ou seja, a vogal com til \~{A} seguida de O), conforme o pedido.

Passo 2

Conceito básico usado: permutação de elementos distintos.
Se temos n objetos distintos e queremos contar todas as maneiras de ordená-los (anagramas), o número é dado por
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1,
que se chama "fatorial de n". Exemplo rápido e concreto: para 3 letras distintas A,B,C temos 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6 anagramas.
Aplicando isso ao item (a): como há 6 letras todas distintas, o número total de anagramas é
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.

Passo 3

Para o item (b) raciocínio por fixação de posições: queremos anagramas que comecem com F e terminem com O. Se as posições 1 e 6 já estão fixas (posição 1 = F, posição 6 = O), restam as 4 letras \;U,\;N,\;\c{C},\;\~{A} para permutar livremente nas 4 posições do meio. O número de maneiras de permutar essas 4 letras é
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
Logo há 24 anagramas que começam com F e terminam com O.

Passo 4

Para o item (c) usamos o método do “bloco” (uma técnica padrão para contar objetos que devem ficar juntos). Queremos que \~{A} e O apareçam juntas e nessa ordem \~{A}O. Então tratamos esse par \~{A}O como se fosse um único “super-caractere” (um bloco fixo cuja ordem interna já está determinada, pois a ordem é \~{A} seguido de O).
Depois de agrupar \~{A}O em um bloco, os elementos distintos a permutar são:
F,\;U,\;N,\;\c{C},\;\text{(bloco \(\~{A}O)}) — ou seja, 5 objetos distintos no total. O número de permutações desses 5 objetos é
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Observação: não multiplicamos por 2 para a ordem dentro do bloco porque a ordem já está fixada (tem que ser \~{A}O, e não O\~{A}).

Passo 5

Verificação alternativa (mesma conta, só para confirmar mentalmente): o bloco \~{A}O pode começar em qualquer uma das posições 1,2,3,4,5 da palavra de 6 letras (ou seja, 5 escolhas para a posição do bloco), e para cada escolha restam as 4 letras restantes que podem ser arranjadas em 4! maneiras; então o total seria 5\cdot4! = 5\cdot24 = 120, que coincide com o resultado do passo anterior.

Resposta

(a) 720
(b) 24
(c) 120

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