(*) Determine o número de anagramas:
(a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
(b) Existentes na palavra FUNÇÃO que iniciam com F e terminam com O .
(c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde que as vogais A e O apareçam juntas nessa ordem (ÃO).
(a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
(b) Existentes na palavra FUNÇÃO que iniciam com F e terminam com O .
(c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde que as vogais A e O apareçam juntas nessa ordem (ÃO).
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre anagramas da palavra FUNÇÃO:
(a) o número total de anagramas da palavra FUNÇÃO;
(b) o número de anagramas da palavra FUNÇÃO que começam com e terminam com
;
(c) o número de anagramas da palavra FUNÇÃO em que as vogais e
aparecem juntas e nessa ordem
.
(a) o número total de anagramas da palavra FUNÇÃO;
(b) o número de anagramas da palavra FUNÇÃO que começam com
(c) o número de anagramas da palavra FUNÇÃO em que as vogais
Informações dadas e observações importantes (tudo que vem do enunciado):
- A palavra é “FUNÇÃO”. Vou representar as letras explicitamente em TeX como .
- São
letras no total e todas são distintas (cada símbolo conta como uma letra diferente). - Vogais presentes (na palavra) são
. O enunciado pede que
e apareçam juntas na ordem ; aqui vou interpretar isso como o par (ou seja, a vogal com til seguida de ), conforme o pedido.
Passo 2
Conceito básico usado: permutação de elementos distintos.
Se temos objetos distintos e queremos contar todas as maneiras de ordená-los (anagramas), o número é dado por
Se temos
que se chama "fatorial de
". Exemplo rápido e concreto: para
letras distintas
temos
anagramas.
Aplicando isso ao item (a): como há
letras todas distintas, o número total de anagramas é
Passo 3
Para o item (b) raciocínio por fixação de posições: queremos anagramas que comecem com
e terminem com
. Se as posições 1 e 6 já estão fixas (posição 1 =
, posição 6 =
), restam as
letras
para permutar livremente nas
posições do meio. O número de maneiras de permutar essas
letras é
Logo há
anagramas que começam com
e terminam com
.
Passo 4
Para o item (c) usamos o método do “bloco” (uma técnica padrão para contar objetos que devem ficar juntos). Queremos que
e
apareçam juntas e nessa ordem
. Então tratamos esse par
como se fosse um único “super-caractere” (um bloco fixo cuja ordem interna já está determinada, pois a ordem é
seguido de
).
Depois de agrupar
em um bloco, os elementos distintos a permutar são:
)}) — ou seja, objetos distintos no total. O número de permutações desses
objetos é
)}) — ou seja,
Observação: não multiplicamos por
para a ordem dentro do bloco porque a ordem já está fixada (tem que ser
, e não
).
Passo 5
Verificação alternativa (mesma conta, só para confirmar mentalmente): o bloco
pode começar em qualquer uma das posições
da palavra de
letras (ou seja,
escolhas para a posição do bloco), e para cada escolha restam as
letras restantes que podem ser arranjadas em
maneiras; então o total seria
, que coincide com o resultado do passo anterior.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)