(*) Você coloca em um recipiente isolado, um bloco de alumínio de 1,5 \mathrm{~kg} a temperatura de 45 \circ \mathrm{C} em contato com um bloco de cobre de 2,1 \mathrm{~kg} a temperatura de 18 \circ \mathrm{C}. O calor específico do alumínio é 0,91 \mathrm{~J} / \mathrm{g} e o calor específico do cobre é 0,39 \mathrm{~J} / \mathrm{g}. Qual é a temperatura final dos dois blocos?

Passo 1

O enunciado fornece os dois blocos em um recipiente isolado e pede a temperatura final comum quando atingirem equilíbrio térmico.
Informações dadas:
\text{Massa do alumínio: } m_{\text{Al}} = 1,5\\ \text{kg} = 1500\\ \text{g}í
\text{Temperatura inicial do alumínio: } T_{\text{Al,i}} = 45^\circ\mathrm{C}í
\text{Calor específico do alumínio: } c_{\text{Al}} = 0,91\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C})íí
\text{Massa do cobre: } m_{\text{Cu}} = 2,1\\ \text{kg} = 2100\\ \text{g}
\text{Temperatura inicial do cobre: } T_{\text{Cu,i}} = 18^\circ\mathrm{C}
\text{Calor específico do cobre: } c_{\text{Cu}} = 0,39\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C})í
O que se pede:
\text{Temperatura final comum } T_f \text{ dos dois blocos (quando atingem equilíbrio).}í

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicadinho, passo a passo).
Num sistema isolado não há troca de calor com o ambiente, só entre os corpos. Logo, o calor perdido por um corpo é igual ao calor ganho pelo outro. Em fórmula:
\sum Q = 0
onde Q é o calor trocado por cada corpo.
A expressão para o calor trocado por um corpo quando sua temperatura muda é
Q = m\,c\,\Delta T
explicando cada símbolo:
  • Q = calor trocado (em joules, J). Se Q>0 o corpo recebeu calor; se Q<0 perdeu calor.
  • m = massa do corpo (aqui em gramas, g).
  • c = calor específico do material (em \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C})).
  • \Delta T = variação de temperatura, dada por \Delta T = T_f - T_{\text{inicial}} (em ^\circ\mathrm{C}). Observe o sinal: se o corpo esfria, \Delta T é negativo e Q fica negativo, como esperado.
Exemplo rápido: se um corpo de 100\\ \text{g} com c=1 passa de 30^\circ\mathrm{C} para 20^\circ\mathrm{C}, então Q=100\cdot1\cdot(20-30)=-1000\\ \mathrm{J} (perdeu 1000\\ \mathrm{J}).

Passo 3

Aplicando a conservação de energia ao problema: o alumínio perderá calor (pois começa mais quente) e o cobre ganhará calor. Escrevemos:
Q_{\text{Al}} + Q_{\text{Cu}} = 0
onde
Q_{\text{Al}} = m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\,(T_f - T_{\text{Al,i}})
Q_{\text{Cu}} = m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,(T_f - T_{\text{Cu,i}})
Substituindo nas expressões:
m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\,(T_f - T_{\text{Al,i}}) + m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,(T_f - T_{\text{Cu,i}}) = 0

Passo 4

Agora vamos substituir os números e calcular passo a passo. Primeiro calculamos os produtos m c (que têm unidade \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}):
m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}} = 1500\cdot 0,91 = 1365\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}
m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}} = 2100\cdot 0,39 = 819\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}
Substituindo na equação:
1365\,(T_f - 45) + 819\,(T_f - 18) = 0
Expandindo os parênteses:
1365\,T_f - 1365\cdot 45 + 819\,T_f - 819\cdot 18 = 0
Calculando os termos constantes:
1365\cdot 45 = 1365\cdot(40+5)=1365\cdot40 +1365\cdot5 = 54600 + 6825 = 61425
819\cdot 18 = 819\cdot(20-2)=819\cdot20 -819\cdot2 = 16380 - 1638 = 14742
Então a equação fica:
(1365 + 819)T_f - (61425 + 14742) = 0
2184\,T_f - 76167 = 0

Passo 5

Isolando T_f:
T_f = \frac{76167}{2184}
Agora fazemos a divisão. Podemos ver que
2184\cdot 34 = 74256
76167 - 74256 = 1911
2184\cdot 0{,}875 = 1911
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T_f = 34 + 0{,}875 = 34{,}875^\circ\mathrm{C}
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal (normal em termodinâmica experimental):
T_f \approx 34{,}9^\circ\mathrm{C}

Passo 6

Checagem rápida de plausibilidade (esperança): a temperatura final 34{,}9^\circ\mathrm{C} está entre 45^\circ\mathrm{C} e 18^\circ\mathrm{C}, mais próxima do 45^\circ\mathrm{C} porque o alumínio tem maior capacidade térmica total aqui ( 1365 vs 819\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}), o que faz sentido. Podemos também checar que os calores se cancelam numericamente:
Q_{\text{Al}} = 1365\cdot(34{,}875-45) = 1365\cdot(-10{,}125) \approx -13818\\ \mathrm{J}
Q_{\text{Cu}} = 819\cdot(34{,}875-18) = 819\cdot16{,}875 \approx +13818\\ \mathrm{J}
soma próxima de zero (pequenas diferenças de arredondamento), confirmando a consistência.

Resposta

T_f \approx 34{,}9^\circ\mathrm{C}

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