(*) Suponha que a entropia de um certa substância (não um sólido de Einstein) seja dada por
, em que
é uma constante. Qual a energia
em função da temperatura
?
Passo 1
O enunciado dá a entropia
de uma substância em função da energia
pela fórmula
onde
é uma constante. A pergunta é: qual é a energia
em função da temperatura
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos usar a definição que relaciona entropia e temperatura: a temperatura
é dada pela derivada da entropia em relação à energia, pela relação
Explicando devagar:
é função de
. A derivada
mede quanto a entropia muda quando aumentamos um pouquinho a energia. A definição acima diz que a inversa da temperatura é exatamente essa taxa de variação. Aqui
é a temperatura absoluta; assumimos a situação física padrão em que
e
cresce com
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada
a partir de
. Use a regra do poder: se
, então
. No nosso caso
. Assim,
Passo 4
Substituímos a derivada na definição da temperatura:
Agora isolamos
. Primeiro escrevemos
Invertendo ambos os lados (ou, equivalentemente, elevando à potência
) obtemos
Finalmente, elevamos ao quadrado para achar
:
Passo 5
Observações úteis para a prova e entendimento:
- Física/consistência: para que
cresça com e seja positiva, espera-se que . Nesse caso e . - Se quiser ver como a energia cresce com a temperatura, derive
em relação a :
que é a capacidade térmica (proporcional a
). Isso mostra que a substância tem capacidade térmica que cresce linearmente com
.
- Dica rápida: na prova, sempre que der
e pedirem , lembre-se: compute , iguale a e resolva para .