(*) Suponha que a entropia de um certa substância (não um sólido de Einstein) seja dada por S=a \sqrt{E}, em que a é uma constante. Qual a energia E em função da temperatura T ?

Passo 1

O enunciado dá a entropia S de uma substância em função da energia E pela fórmula
S = a \sqrt{E},
onde a é uma constante. A pergunta é: qual é a energia E em função da temperatura T?\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{Dado: } S(E)=a\sqrt{E},\quad a=\text{constante.}
\text{Pedimos: } E \text{ em função de } T.çã

Passo 2

Vamos usar a definição que relaciona entropia e temperatura: a temperatura T é dada pela derivada da entropia em relação à energia, pela relação
\frac{1}{T}=\frac{dS}{dE}.
Explicando devagar: \,S é função de \,E. A derivada \frac{dS}{dE} mede quanto a entropia muda quando aumentamos um pouquinho a energia. A definição acima diz que a inversa da temperatura é exatamente essa taxa de variação. Aqui \,T é a temperatura absoluta; assumimos a situação física padrão em que \,T>0 e \,S cresce com \,E.

Passo 3

Agora calculamos a derivada \frac{dS}{dE} a partir de S=a\sqrt{E}. Use a regra do poder: se f(E)=E^{n}, então f'(E)=nE^{n-1}. No nosso caso n=\tfrac{1}{2}. Assim,
\frac{dS}{dE}=a\cdot\frac{d}{dE}\bigl(E^{1/2}\bigr)=a\cdot\frac{1}{2}E^{-1/2}=\frac{a}{2}E^{-1/2}.

Passo 4

Substituímos a derivada na definição da temperatura:
\frac{1}{T}=\frac{a}{2}E^{-1/2}.
Agora isolamos E. Primeiro escrevemos
E^{-1/2}=\frac{2}{aT}.
Invertendo ambos os lados (ou, equivalentemente, elevando à potência -1) obtemos
E^{1/2}=\frac{aT}{2}.
Finalmente, elevamos ao quadrado para achar E:
E=\left(\frac{aT}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}T^{2}}{4}.

Passo 5

Observações úteis para a prova e entendimento:
  • Física/consistência: para que S cresça com E e T seja positiva, espera-se que a>0. Nesse caso E\ge 0 e T\ge 0.
  • Se quiser ver como a energia cresce com a temperatura, derive E em relação a T:
\frac{dE}{dT}=\frac{a^{2}}{2}T,
que é a capacidade térmica (proporcional a T). Isso mostra que a substância tem capacidade térmica que cresce linearmente com T.
  • Dica rápida: na prova, sempre que der S(E) e pedirem E(T), lembre-se: compute \frac{dS}{dE}, iguale a 1/T e resolva para E.

Resposta

\displaystyle E=\frac{a^{2}T^{2}}{4}

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