(*) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Informações fornecidas:
    • 15 jogadores disponíveis.
    • Cada jogador “pode jogar em qualquer posição” (ou seja, não há posição fixa que torne um jogador diferente de outro na contagem).
    • O técnico vai escolher 6 desses 15 para formar o time.
  • O que o enunciado pergunta:
    • De quantas maneiras o técnico pode escalar (ou seja, escolher) um time de 6 jogadores a partir dos 15?

Passo 2

Interpretação importante (para saber o que contar): como o enunciado diz que os jogadores “podem jogar em qualquer posição”, isso significa que não estamos distinguindo posições diferentes na contagem — só importa quem está no time, não a ordem em que eu os escrevo ou coloco. Então, duas escalas que tenham exatamente os mesmos 6 jogadores, mesmo que em ordens diferente, devem ser consideradas iguais.
Quando a ordem não importa e queremos apenas escolher um subconjunto de tamanho k a partir de n elementos, usamos o conceito de combinação. Vou explicar isso com calma a seguir.

Passo 3

Definição e fórmula de combinação (o que você precisa decorar e saber usar):
  • O fatorial: para um inteiro não negativo m, definimos m! (lê-se “m fatorial”) como
m! = m\cdot (m-1)\cdot (m-2)\cdots 2\cdot 1,
por exemplo 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24. Por convenção 0! = 1.
  • Combinação: o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos, quando a ordem não importa e não há repetição, é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! conta todas as ordenações possíveis se a ordem importasse; dividimos por k! porque a ordem dentro dos k escolhidos não importa, e dividimos por (n-k)! porque não nos importam as ordenações dos não escolhidos — a fórmula vem dessa ideia, mas basta decorá-la e saber aplicá-la.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema: temos n=15 jogadores e queremos escolher k=6. Portanto o número de escalas é
\binom{15}{6} = \frac{15!}{6!\,9!}.

Passo 5

Para calcular \dfrac{15!}{6!\,9!} de forma prática sem escrever os fatoriais gigantes, observe que
\frac{15!}{9!} = 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10,
pois 15! = 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9! e o 9! cancela. Assim
\binom{15}{6} = \frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{6!}.

Passo 6

Calcule o numerador passo a passo (sem pular contas):
15\cdot14 = 210,
210\cdot13 = 2730,
2730\cdot12 = 32760,
32760\cdot11 = 360360,
360360\cdot10 = 3603600.
Portanto o numerador é 3603600.

Passo 7

Calcule o denominador 6!:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.

Passo 8

Dividindo numerador por denominador:
\frac{3603600}{720} = 5005.
Uma forma mental de ver isso: 720\times5000 = 3\,600\,000 e sobra 3\,600, que é 720\times5; logo dá 5005.

Passo 9

Interpretação final e exemplo pequeno para fixar (didático): o resultado 5005 significa que existem 5005 conjuntos diferentes de 6 jogadores que o técnico pode escolher entre os 15. Como exemplo menor, se você tivesse 4 jogadores e precisasse escolher 2, o número seria
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6,
e os subconjuntos seriam exatamente os 6 pares diferentes — mesma ideia que usamos aqui, só em escala maior.

Resposta

\,5005\,

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