(*) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
-
Informações fornecidas:
- Há
jogadores disponíveis. - Cada jogador “pode jogar em qualquer posição” (ou seja, não há posição fixa que torne um jogador diferente de outro na contagem).
- O técnico vai escolher
desses para formar o time.
- Há
-
O que o enunciado pergunta:
- De quantas maneiras o técnico pode escalar (ou seja, escolher) um time de
jogadores a partir dos ?
- De quantas maneiras o técnico pode escalar (ou seja, escolher) um time de
Passo 2
Interpretação importante (para saber o que contar): como o enunciado diz que os jogadores “podem jogar em qualquer posição”, isso significa que não estamos distinguindo posições diferentes na contagem — só importa quem está no time, não a ordem em que eu os escrevo ou coloco. Então, duas escalas que tenham exatamente os mesmos
jogadores, mesmo que em ordens diferente, devem ser consideradas iguais.
Quando a ordem não importa e queremos apenas escolher um subconjunto de tamanho
a partir de
elementos, usamos o conceito de combinação. Vou explicar isso com calma a seguir.
Passo 3
Definição e fórmula de combinação (o que você precisa decorar e saber usar):
- O fatorial: para um inteiro não negativo
, definimos (lê-se “m fatorial”) como
por exemplo
. Por convenção
.
- Combinação: o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de elementos, quando a ordem não importa e não há repetição, é dado pelo coeficiente binomial
Aqui
conta todas as ordenações possíveis se a ordem importasse; dividimos por
porque a ordem dentro dos
escolhidos não importa, e dividimos por
porque não nos importam as ordenações dos não escolhidos — a fórmula vem dessa ideia, mas basta decorá-la e saber aplicá-la.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema: temos
jogadores e queremos escolher
. Portanto o número de escalas é
Passo 5
Para calcular
de forma prática sem escrever os fatoriais gigantes, observe que
pois
e o
cancela. Assim
Passo 6
Calcule o numerador passo a passo (sem pular contas):
Portanto o numerador é
.
Passo 7
Calcule o denominador
:
Passo 8
Dividindo numerador por denominador:
Uma forma mental de ver isso:
e sobra
, que é
; logo dá
.
Passo 9
Interpretação final e exemplo pequeno para fixar (didático): o resultado
significa que existem
conjuntos diferentes de
jogadores que o técnico pode escolher entre os
. Como exemplo menor, se você tivesse
jogadores e precisasse escolher
, o número seria
e os subconjuntos seriam exatamente os
pares diferentes — mesma ideia que usamos aqui, só em escala maior.