Determine o número complexo z_{1}, sabendo que z_{2}=10\left(\cos 20^{\circ}+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen} 20^{\circ}\right) e z_{1} z_{2}=20 \sqrt{3}\left(\cos 170^{\circ}+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen} 170^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado dá
z_{2}=10\bigl(\cos20^\circ + \mathrm{i}\sin20^\circ\bigr)
e
z_{1}z_{2}=20\sqrt{3}\bigl(\cos170^\circ + \mathrm{i}\sin170^\circ\bigr).
O conteúdo aqui é a multiplicação de números complexos em forma trigonométrica, que nos diz que os módulos se multiplicam e os argumentos se somam.

Passo 2

Pela regra dos módulos:
|z_{1}|\cdot|z_{2}|=20\sqrt{3}.
Como |z_{2}|=10, segue que
|z_{1}|=\frac{20\sqrt{3}}{10}=2\sqrt{3}.

Passo 3

Pela regra dos argumentos:
\arg(z_{1})+\arg(z_{2})=170^\circ\quad(\bmod360^\circ).
Como \arg(z_{2})=20^\circ, temos
\arg(z_{1})=170^\circ-20^\circ=150^\circ,
que já está no intervalo 0^\circ<\theta<360^\circ.

Passo 4

Logo, em forma trigonométrica,
z_{1}=2\sqrt{3}\bigl(\cos150^\circ+\mathrm{i}\sin150^\circ\bigr).

Passo 5

Convertendo para a forma algébrica, usamos \cos150^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin150^\circ=\tfrac12, então
z_{1} =2\sqrt{3}\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) +\mathrm{i}\,2\sqrt{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr) =-3+\mathrm{i}\sqrt{3}.

Resposta

z_{1}=-3+\mathrm{i}\sqrt{3}.

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