Sabendo que z_{1}=2\left(\cos 30^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ}\right) e z_{2}=3\left(\cos 150^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 150^{\circ}\right), determine:
z_{1}^{3}

Passo 1

O enunciado dá
z_{1}=2\bigl(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}\bigr)
e pede z_{1}^{3}. O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema de De Moivre, que diz que, para um número complexo em forma polar \,r(\cos\theta+i\sin\theta), valem
\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^{n} = r^{n}\bigl[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr].

Passo 2

Identificamos no caso de z_{1} o módulo
r_{1}=2
e o argumento
\theta_{1}=30^{\circ}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
z_{1}^{3} = \bigl[r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})\bigr]^{3} = r_{1}^{3}\bigl[\cos(3\theta_{1})+i\sin(3\theta_{1})\bigr].

Passo 4

Calculamos
r_{1}^{3}=2^{3}=8 \quad\text{e}\quad 3\theta_{1}=3\cdot 30^{\circ}=90^{\circ},
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z_{1}^{3}=8\bigl(\cos 90^{\circ}+i\sin 90^{\circ}\bigr).

Passo 5

Como \cos 90^{\circ}=0 e \sin 90^{\circ}=1, temos
z_{1}^{3}=8\bigl(0+i\cdot1\bigr)=8i.

Resposta

z_{1}^{3}=8i.

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