Sabendo que z_{1}=2\left(\cos 30^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ}\right) e z_{2}=3\left(\cos 150^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 150^{\circ}\right), determine:
z_{2}^{99}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \,z_{2}^{99}, onde
z_{2} = 3\bigl(\cos150^\circ + i\,\sen150^\circ\bigr).
O conteúdo aqui é a forma polar de números complexos e o Teorema de De Moivre, que diz que
\bigl(r(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)\bigr)^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\operatorname{sen}(n\theta)\bigr).

Passo 2

Identificamos em z_{2} o módulo e o argumento:
r = 3, \quad \theta = 150^\circ.

Passo 3

Pelo Teorema de Moivre,
z_{2}^{99} = 3^{99}\bigl(\cos(99\cdot150^\circ)+i\operatorname{sen}(99\cdot150^\circ)\bigr).

Passo 4

Calculamos 99\cdot150^\circ e reduzimos módulo 360^\circ:
99 \times 150^\circ = 14850^\circ, \quad 14850^\circ \bmod 360^\circ = 90^\circ.

Passo 5

Como \cos90^\circ=0 e \sen90^\circ=1, resulta
z_{2}^{99} = 3^{99}\bigl(\cos90^\circ + i\sen90^\circ\bigr) = 3^{99}\,(0 + i\cdot1) = i\,3^{99}.

Resposta

z_{2}^{99} = i\,3^{99}.

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