Usando a fórmula de De Moivre, calcule a potência:
(1-i)^{3}-2-2 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(1 - i)^{3} \;-\; 2 \;-\; 2\,i
usando a fórmula de De Moivre. Vamos escrever 1 - i em forma polar e então elevar ao cubo.

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento de 1 - i.
O módulo é
r = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2},
e o argumento \theta satisfaz
\theta = \arg(1 - i) = -\frac{\pi}{4}.
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1 - i = \sqrt{2}\,\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\,\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre,
(1 - i)^{3} = (\sqrt{2})^{3}\,\bigl[\cos\bigl(3\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr) + i\,\sin\bigl(3\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)\bigr] = 2\sqrt{2}\,\bigl[\cos(-\tfrac{3\pi}{4}) + i\,\sin(-\tfrac{3\pi}{4})\bigr].

Passo 4

Sabendo que
\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
(1 - i)^{3} = 2\sqrt{2}\,\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -2 \;-\; 2\,i.

Passo 5

Finalmente, subtrai-se 2 + 2\,i:
(1 - i)^{3} - 2 - 2\,i = (-2 - 2\,i) - 2 - 2\,i = -4 - 4\,i.

Resposta

-4 - 4\,i

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