Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos:
c) dodecágono
c) dodecágono
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de diagonais de um dodecágono.
Informações relevantes dadas: é um polígono com 12 lados (ou seja, ).
Pedido: encontrar quantas diagonais existem nesse polígono.
Informações relevantes dadas: é um polígono com 12 lados (ou seja,
Pedido: encontrar quantas diagonais existem nesse polígono.
Passo 2
O que é uma diagonal?
Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono. Em outras palavras, se você pega dois vértices que não são o mesmo vértice e nem estão ligados por um lado, o segmento entre eles é uma diagonal.
Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono. Em outras palavras, se você pega dois vértices que não são o mesmo vértice e nem estão ligados por um lado, o segmento entre eles é uma diagonal.
Passo 3
Vamos pensar numa maneira prática de contar diagonais sem desenhar todas. Existem duas ideias equivalentes e úteis; eu mostro as duas para você entender bem.
Método 1 — contagem por vértice:
- Em um polígono de
vértices, fixando um vértice qualquer, quantos outros vértices podem ser ligados a ele por uma diagonal? - Não podemos ligar a ele mesmo, então excluímos 1.
- Não podemos ligar aos dois vértices adjacentes (esses segmentos são lados, não diagonais), então excluímos mais 2.
- Logo, de cada vértice saem
diagonais.
- Como há
vértices, contando assim obteríamos segmentos. Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma a partir de cada extremidade), então dividimos por . - Assim obtemos a fórmula
Método 2 — combinatório (outra visão, mesma fórmula):
- O número de segmentos que unem pares de vértices quaisquer é
. - Dessas conexões,
são os lados do polígono (os pares de vértices consecutivos). - Então as diagonais são
As duas abordagens levam à mesma expressão; escolha a que você achar mais natural na prova.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao dodecágono, onde
. Substituindo:
Passo 5
Cheque rápido para ver se a fórmula faz sentido em casos simples:
- Para
(triângulo): — correto, triângulo não tem diagonal. - Para
(quadrado): — certo, o quadrado tem 2 diagonais.
Esses testes dão confiança de que a fórmula está correta.