Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos:
c) dodecágono

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de diagonais de um dodecágono.
Informações relevantes dadas: é um polígono com 12 lados (ou seja, n=12).
Pedido: encontrar quantas diagonais existem nesse polígono.

Passo 2

O que é uma diagonal?
Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono. Em outras palavras, se você pega dois vértices que não são o mesmo vértice e nem estão ligados por um lado, o segmento entre eles é uma diagonal.

Passo 3

Vamos pensar numa maneira prática de contar diagonais sem desenhar todas. Existem duas ideias equivalentes e úteis; eu mostro as duas para você entender bem.
Método 1 — contagem por vértice:
  • Em um polígono de n vértices, fixando um vértice qualquer, quantos outros vértices podem ser ligados a ele por uma diagonal?
    • Não podemos ligar a ele mesmo, então excluímos 1.
    • Não podemos ligar aos dois vértices adjacentes (esses segmentos são lados, não diagonais), então excluímos mais 2.
    • Logo, de cada vértice saem n-3 diagonais.
  • Como há n vértices, contando assim obteríamos n(n-3) segmentos. Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma a partir de cada extremidade), então dividimos por 2.
  • Assim obtemos a fórmula
\text{nº de diagonais} = \frac{n(n-3)}{2}.º
Método 2 — combinatório (outra visão, mesma fórmula):
  • O número de segmentos que unem pares de vértices quaisquer é \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.
  • Dessas conexões, n são os lados do polígono (os pares de vértices consecutivos).
  • Então as diagonais são
\binom{n}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}.
As duas abordagens levam à mesma expressão; escolha a que você achar mais natural na prova.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao dodecágono, onde n=12. Substituindo:
\text{nº de diagonais}=\frac{12(12-3)}{2}=\frac{12\cdot 9}{2}=6\cdot 9.º

Passo 5

Cheque rápido para ver se a fórmula faz sentido em casos simples:
  • Para n=3 (triângulo): \dfrac{3(3-3)}{2}=0 — correto, triângulo não tem diagonal.
  • Para n=4 (quadrado): \dfrac{4(4-3)}{2}=\dfrac{4}{2}=2 — certo, o quadrado tem 2 diagonais.
    Esses testes dão confiança de que a fórmula está correta.

Resposta

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